[논문 리뷰] A Multivariable Chinese Remainder Theorem

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 22.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다변수 선형 모듈러 방정식계로 고전적인 중국인법정리를 일반화하며, 모듈러스가 두 개씩 서로소이고 각 행에 그 모듈러스와 서로소인 계수를 적어도 하나 이상 포함하는 한, 임의의 우변 벡터에 대해 해가 존재함을 증명한다. 이 방법은 13세기 진기조의 알고리즘을 응용하여 순차적으로 상향 보정을 통해 해를 구축하는 방식으로, 중국인법정리를 다변수 디오판틴 방정식계로 확장한다.

ABSTRACT

Using an adaptation of Qin Jiushao's method from the 13th century, it is possible to prove that a system of linear modular equations a(i,1) x(i) + ... + a(i,n) x(n) = b(i) mod m(i), i=1, ..., n has integer solutions if m(i)>1 are pairwise relatively prime and in each row, at least one matrix element a(i,j) is relatively prime to m(i). The Chinese remainder theorem is the special case, where A has only one column.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 중국인법정리를 다변수 선형 모듈러 방정식계로 확장한다.
• 이러한 시스템이 임의의 우변 벡터에 대해 정수해를 갖는 데 필요한 충분조건을 설정한다.
• 역사적 방법—특히 진기조의 '하나를 찾는 방법'—을 기반으로 한 구조적 알고리즘을 제공한다.
• 이 방법이 서로소 정수 모듈러스에 대한 선형 및 비선형 다항식계에도 적용 가능함을 보여준다.
• 진기조의 알고리즘이 현대의 계산군 이론 기법인 슈라이어-시姆스 알고리즘의 전구로서 역사적으로 중요한 의미를 지닌다는 점을 부각한다.

제안 방법

• 구조적 반복 상향 보정 과정을 사용: 한 방정식씩 풀고, 중국인법정리를 이용해 더 높은 모듈러스로 해를 상향 보정한다.
• 각 단계에서 현재 모듈러스와 서로소인 계수를 가진 변수를 선택하고, 그 방향으로 해를 매개변수화한다.
• 군 준동형사상 $\phi: \mathbb{Z}^n \to \mathbb{Z}_{m_1} \times \cdots \times \mathbb{Z}_{m_n}$ 과 그 핵 $L_A$ 를 사용하여 해 공간의 구조를 분석한다.
• 첫 번째 동형정리 정리를 적용하여, 해 집합 $\mathcal{X} = \mathbb{Z}^n / L_A$ 가 $\phi$ 의 상과 동형임을 보이며, 제시된 조건 하에서 전사성을 보장한다.
• 해를 $\vec{x}(t) = \sum t_i (m_1 \cdots m_i) \vec{e}_{j(i)}$ 로 구성한다. 여기서 $j(i)$ 는 $m_i$ 와 서로소인 계수를 가진 열이며, 이는 서로 다른 모듈러스 간의 호환성을 보장한다.
• 비선형 시스템으로의 확장을 위해 매개변수 해법(예: $\vec{x} = (t,t,t)$)을 사용하고, 성분별로 순차적으로 해를 구하며 상향 보정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 행렬 $A$ 가 $n \times n$ 이고 $\vec{m}$ 이 서로소 정수로 이루어진 경우, 선형 모듈러 방정식계 $A\vec{x} \equiv \vec{b} \pmod{\vec{m}}$ 가 정수해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 진기조의 13세기 합동계를 푸는 알고리즘이 임의의 정수 계수 행렬을 가진 다변수 선형 시스템으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 체적 $M = m_1 \cdots m_n$ 을 가진 유계 평행육면체 내에서 해를 찾는 구조적 방법이 존재하는가?
• RQ4 이 방법은 서로소 모듈러스에 대한 비선형 다항식계로 확장될 수 있는가?
• RQ5 진기조의 방법과 현대의 계산군 이론 알고리즘인 슈라이어-시姆스 알고리즘 사이의 역사적 및 알고리즘적 연관성은 무엇인가?

주요 결과

• 모듈러스 $m_i$ 가 두 개씩 서로소이고, 행렬 $A$ 의 각 행에 $m_i$ 와 서로소인 원소 $a_{ij}$ 가 적어도 하나 이상 존재하는 한, 시스템 $A\vec{x} \equiv \vec{b} \pmod{\vec{m}}$ 는 모든 $\vec{b}$ 에 대해 해를 가진다.
• 해는 체적 $M = m_1 \cdots m_n$ 을 가진 기본 영역 $\mathcal{X} = \mathbb{Z}^n / L_A$ 에 존재하며, 여기서 $L_A$ 는 $\mathbb{Z}^n$ 내의 격자이다.
• 구조적 알고리즘이 존재한다: 계수와 모듈러스가 서로소인 방향으로 해를 순차적으로 상향 보정하며, $m_1 \cdots m_i$ 스케일링을 사용한 반복 매개변수화를 통해 진행한다.
• 예시 $\begin{bmatrix}101 & 107 \\ 51 & 22 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix}3 \\ 7 \end{bmatrix} \pmod{\begin{bmatrix}117 \\ 71 \end{bmatrix}}$ 에서 해 $\vec{x} = \begin{bmatrix}25 \\ 65 \end{bmatrix}$ 가 발견된다.
• 동차 해의 격자 $A\vec{x} \equiv \vec{0} \pmod{\vec{m}}$ 는 $\begin{bmatrix}73 \\ 47 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-82 \\ 61 \end{bmatrix}$ 로 생성되며, 이는 해 공간의 구조를 확인한다.
• 비선형 시스템으로의 확장도 가능하다: $x^2 + y^3 + z^2 \equiv 1 \pmod{5}$, $x^3 + 2y^4 - z^2 \equiv 1 \pmod{7}$, $3x - 2y^3 + 5z^4 \equiv 7 \pmod{11}$ 에 대해, 반복 상향 보정을 통해 해 $\vec{x} = (2,72,37)$ 이 구성된다.