[논문 리뷰] A multivariate version of the disk convolution

Margit Rösler, Michael Voit|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 01.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비정수 실수 매개변수를 가진 타입 BCq의 헤크만-오픈담 자코비다항식에 대해 연속적이고 양수인 곱공식을 수립하며, 고계수로의 고전적 디스크 콘볼루션 결과를 일반화한다. 카를슨의 정리를 통한 해석적 계속을 이용하여, 컴팩트 대칭 공간 위에 일차 파라미터를 가진 교환 법칙을 만족하는 하이퍼군을 구성하며, 잘 알려진 디스크 하이퍼군을 질량 q ≥ 1 및 실수 매개변수 p ∈ ]2q−1, ∞[ 으로 일반화한다.

ABSTRACT

We present an explicit product formula for the spherical functions of the compact Gelfand pairs $(G,K_1)= (SU(p+q), SU(p) imes SU(q))$ with $p\ge 2q$, which can be considered as the elementary spherical functions of one-dimensional $K$-type for the Hermitian symmetric spaces $G/K$ with $K= S(U(p) imes U(q))$. Due to results of Heckman, they can be expressed in terms of Heckman-Opdam Jacobi polynomials of type $BC_q$ with specific half-integer multiplicities. By analytic continuation with respect to the multiplicity parameters we obtain positive product formulas for the extensions of these spherical functions as well as associated compact and commutative hypergroup structures parametrized by real $p\in]2q-1,\infty[$. We also obtain explicit product formulas for the involved continuous two-parameter family of Heckman-Opdam Jacobi polynomials with regular, but not necessarily positive multiplicities. The results of this paper extend well known results for the disk convolutions for $q=1$ to higher rank.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 그라스만다이만드에서 고계수(q ≥ 2)로 고전적 디스크 하이퍼군 곱공식을 일반화한다.
• 실수 비정수 매개변수를 가진 헤크만-오픈담 자코비다항식에 대해 연속적이고 양수인 곱공식을 수립한다.
• 실수 매개변수 p ∈ ]2q−1, ∞[ 에 대해 공간 Xq = T × [0,1]^{q-1} 위에 일차 파라미터를 가진 교환 법칙을 만족하는 하이퍼군 구조의 일족을 구성한다.
• 정수 매개변수 p ≥ 2q 에서 실수 매개변수 p > 2q−1 로의 곱공식을 해석적 계속을 통해 확장한다.
• 유도된 하이퍼군의 쌍대 공간과 하어르 측도를 규명한다.

제안 방법

• 카탄 분해를 이용하여 컴팩트 공간 Xq 위에서 Gelfand 쌍 (SU(p+q), SU(p)×SU(q)) 의 구면 함수에 대한 곱공식을 유도한다.
• 실수 매개변수 p 와 l ∈ R 에 따라 다중도 매개변수 k = (p−q−l, 1/2+l, 1) 를 가진 헤크만-오픈담 다항식 Rλ(k; t) 로 구면 함수를 표현한다.
• 카를슨의 정리를 적용하여 곱공식을 정수 매개변수 p ≥ 2q 에서 실수 매개변수 p ∈ ]2q−1, ∞[ 로 해석적 계속한다.
• 특이값과 극좌표 분해를 포함한 변수 변경을 수행하여 적분을 ∆(d(t,t';v,w)) 와 SU(q) 위의 하어르 측도를 포함하는 형태로 변환한다.
• Rλ(k; t) 의 계수들이 k 에 대해 유리함수이므로 Re(l) > 0 에서 l 에 대해 해석적이며, 이를 l ∈ [0, ∞[ 로 확장할 수 있다.
• Bq 와 SU(q) 위의 적분을 포함하는 커널 유형의 곱공식을 유도하며, 최종 공식의 실수성을 확보하기 위해 실수부를 취한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SU(p+q)/SU(p)×SU(q) 위의 구면 함수 곱공식을 정수 매개변수 p ≥ 2q 에서 실수 매개변수 p > 2q−1 로 확장할 수 있는가?
• RQ2 실수 매개변수 p ∈ ]2q−1, ∞[ 에 대해 Xq 위의 관련 교환 법칙을 만족하는 하이퍼군의 구조는 어떠한가?
• RQ3 일반적인 실수 l ≠ 0 에서 곱공식이 양수인가, 아니면 l = 0 에서만 양수인가?
• RQ4 고계수 q ≥ 2 에서의 곱공식은 알려진 일차원 디스크 콘볼루션을 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 적분 커널은 양수성 분석이나 추가 허모닉 분석에 적합한 형태로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 실수 매개변수 p ∈ ]2q−1, ∞[, l ∈ [0, ∞[ 에 대해 다중도 매개변수 k = (p−q−l, 1/2+l, 1) 를 가진 헤크만-오픈담 자코비다항식 Rλ(k; t) 에 대해 연속적이고 양수인 곱공식이 수립된다.
• 곱공식은 Rλ(k; t)Rλ(k; t′) = (1/κp) ∫∫ Rλ(k; arccos(σsing(d(t,t';v,w)))) · Re[ (∆(d)/∆(cos t)∆(cos t′))^l ] · ∆(Iq−w*w)^{p−2q} dvdw over Bq × SU(q) 로 주어지며, t1, t′1 ≠ π/2 인 경우에 유효하다.
• q = 1 인 경우 공식은 알려진 자코비다항식 R(α,β)n(cos 2θ) 를 포함하는 형태로 줄어들며, 변수 변경을 통해 쿠른와이더의 양수 곱공식과 동치임을 보인다.
• Xq 위의 유도된 하이퍼군 구조는 교환 법칙을 만족하고 컴팩트하며, 원환면 T 와 동형인 컴팩트 부분군을 가진다.
• 商공간 Xq/T 는 알코브 Aq 와 동일시되며, Aq 위의 하이퍼군 구조는 F = C 인 경우 [RR] 의 알려진 결과를 복원한다.
• 해석적 계속에도 불구하고 일반적인 l ≠ 0 에서 곱공식의 양수성은 여전히 열려있다. 심지어 일차원의 경우에도 마찬가지이다.