[논문 리뷰] A multiverse perspective on the axiom of constructiblity

Joel David Hamkins|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 24.

Philosophy and Theoretical Science참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 구성공리(axiom of constructibility, V=L)에 대한 광범위하게 공유되는 거부이론, 즉 '제한성(restrictiveness)에 의한 V≠L' 논거—일명 'V≠L via maximize' 논거—가 절대적이고 고정된 순서수 개념에 암묵적으로 기반하고 있다고 주장한다. 집합론의 상향으로 확장 가능한 다중우주 관점에서는, 모든 집합론적 우주가 더 높고 더 큰 우주로 확장될 수 있기 때문에, V=L는 제한적이지 않으며 오히려 다중우주 내에서 반복 가능한 가능성으로 나타난다. 어떤 모델이라도 V=L를 만족하도록 끝내는 확장(end-extension)이 가능하기 때문이다. 주요 기여는 V=L를 제한적이라는 것이 아니라, 항상 확장 가능한 더 넓은 다중우주 틀 안에서 가능한 진리로 재구성하는 데 있다.

ABSTRACT

I shall argue that the commonly held V not equal L via maximize position, which rejects the axiom of constructibility V = L on the basis that it is restrictive, implicitly takes a stand in the pluralist debate in the philosophy of set theory by presuming an absolute background concept of ordinal. The argument appears to lose its force, in contrast, on an upwardly extensible concept of set, in light of the various facts showing that models of set theory generally have extensions to models of V = L inside larger set-theoretic universes.

연구 동기 및 목표

• V=L의 제한성에 기반한 철학적 거부이론, 특히 'V≠L via maximize' 논거에 대한 철학적 정당성을 도전하기.
• 이 논거가 절대적이고 고정된 배경적 순서수 개념을 암묵적으로 가정하고 있으며, 이는 다중우주 관점과 호환되지 않는다는 것을 보여주기.
• 상향으로 확장 가능한 집합 개념 하에서 V=L는 제한적이지 않으며 오히려 다중우주의 반복적인 특징이라는 것을 주장하기.
• 다중우주 틀이 어떤 집합론적 우주라도 V=L를 만족하는 우주로 확장할 수 있다는 것을 보여주기.
• V=L를 큰 기수의 장벽이 아니라, 큰 기수가 여전히 존재할 수 있는 더 높은 우주로의 확장을 통해 유도되는 결과로 재구성하기.

제안 방법

• 모든 집합론적 우주가 더 높고 더 큰 우주로 확장될 수 있는 상향으로 확장 가능한 집합 개념을 채택하기.
• 참고문헌 [9]의 다중우주 관점에서, 가산 모델이 전체 다중우주의 특징을 어떻게 반영하는지 분석하기.
• 반사 원리(reflection principles)를 적용하여, 가산 모델의 '장난스러운 다중우주'에서 관찰되는 퍼지적 특징이 전체 다중우주에서도 성립할 가능성이 있음을 유추하기.
• ZFC의 주어진 모델 내에서 V=L를 만족하는 강제확장(forcing extensions)과 끝확장(end-extensions)의 존재를 분석하기.
• 큰 기수와 0#이 V=L와 어떻게 관련되어 있는지 분석하여, L 내에서의 존재하지 않음이 V=L를 만족하는 모델로의 확장을 차단하지 않는다는 것을 보여주기.
• 이론 간의 공정한 해석과 번역(예: φ ↦ φ^L) 개념을 사용하여, V=L가 철학적으로나 수학적으로 고립되어 있지 않다는 것을 주장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 'V≠L via maximize' 논거는 절대적이고 고정된 순서수 개념을 가정하고 있는가?
• RQ2 모든 집합론적 우주가 V=L를 만족하는 더 큰 우주로 확장될 수 있다면, V=L는 제한적이라고 볼 수 있는가?
• RQ3 다중우주 관점은 V=L가 제한적 또는 비제한적 원리로 평가되는 철학적 평가를 어떻게 변화시키는가?
• RQ4 가산 모델의 특징들(예: 강제확장과 V=L 모델의 존재)이 전체 다중우주에 어떻게 반영되는가?
• RQ5 다중우주 틀은 큰 기수의 존재와 어떤 확장된 우주에서 V=L가 가능한 것 사이의 조화를 어떻게 가능하게 하는가?

주요 결과

• 'V≠L via maximize' 논거는 절대적 배경적 순서수 개념에 기반하고 있으나, 다중우주 관점에서는 이는 필수적이지 않다.
• 모든 가산 ZFC 모델은 V=L를 만족하는 끝확장으로 확장 가능하므로, V=L는 다중우주 내에서 일반적인 가능성으로 나타난다.
• 다중우주 틀은 어떤 집합론적 우주—0# 또는 큰 기수를 포함한 우주—라도 V=L를 만족하는 우주로 확장할 수 있다는 아이디어를 지지한다.
• 구성우주 L는 고정된 구조가 아니라, 더 높고 확장된 우주에서의 잠재적 진리로 접근 가능해진다.
• 다중우주 관점은 'V≠L' 논거를 뒤집을 수 있다: 순서수를 확장함으로써 V=L는 원하는 만큼 반복 가능해지며, 제한이 아니라 반복적인 특징이 된다.
• 상향으로 확장 가능한 집합 개념 하에서는 V=L를 거부하는 철학적 정당성이 붕괴되며, V=L는 높은 우주로 확장할 경우 모든 큰 기수 공리와도 호환된다.