[논문 리뷰] A nearly tight upper bound on tri-colored sum-free sets in characteristic 2

Robert Kleinberg|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 26.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $6\binom{n}{\lfloor n/3\rfloor}$에 가까운 날카로운 상한을 $\mathbb{F}_2^n$에서 삼색합자유집합의 크기로 확립하며, Croot-Lev-Pach 다항식 방법의 변종을 사용한다. 또한 특성 2 설정에서 지수적 간격을 제거하기 위해 하한선으로 $\binom{n}{\lfloor n/3\rfloor} \cdot 2^{-\sqrt{16n/3}}$을 제시한다.

ABSTRACT

A tri-colored sum-free set in an abelian group $H$ is a collection of ordered triples in $H^3$, $\{(a_i,b_i,c_i)\}_{i=1}^m$, such that the equation $a_i+b_j+c_k=0$ holds if and only if $i=j=k$. Using a variant of the lemma introduced by Croot, Lev, and Pach in their breakthrough work on arithmetic-progression-free sets, we prove that the size of any tri-colored sum-free set in $\mathbb{F}_2^n$ is bounded above by $6 {n \choose \lfloor n/3 floor}$. This upper bound is tight, up to a factor subexponential in $n$: there exist tri-colored sum-free sets in $\mathbb{F}_2^n$ of size greater than ${n \choose \lfloor n/3 floor} \cdot 2^{-\sqrt{16 n / 3}}$ for all sufficiently large $n$.

연구 동기 및 목표

• 대부분의 삼항산술급수를 갖지 않는 집합에 대한 상한과 하한 사이의 지수적 간격을 $\mathbb{F}_2^n$에서 해결하기.
• 기존의 삼항산술급수를 갖지 않는 집합이 자명하게 크기 때문에 특성 2에서 삼색합자유집합으로 다항식 방법을 일반화하기.
• 이러한 집합의 크기에 대해 거의 날카로운 상한을 제공하여 기존 하한선과 하위지수적 요소까지 일치시키기.
• 확률적 구성법을 통해 상한선이 하위지수적 요소까지 날카로운지 입증하기.

제안 방법

• Croot-Lev-Pach 보조정리를 $\mathbb{F}_2^n$에서 완벽하게 매칭된 수열에 적용하여, 목표 집합 크기를 통해 삼색합자유집합과 연결한다.
• 크기 $d = \lfloor n/3 \rfloor$인 다항식의 벡터 공간 $L_{n,d}$를 사용하여 완벽하게 매칭된 수열의 목표 집합 크기를 제한한다.
• 이원다항식의 계수행렬에 대한 질량 제약 조건을 적용하여 상한 $3 \dim L_{n,d} \leq 6\binom{n}{\lfloor n/3\rfloor}$을 유도한다.
• 확률적 구성법을 통해 $({\mathbb{Z}}/M{\mathbb{Z}})^{n+1}$에서 무작위 선형형식 $h_i(\cdot, w)$를 사용하여 삼색합자유집합 $Z(w)$를 생성한다.
• 겹치는 사건들에 대한 포함배제 원리를 사용하여 $Z(w)$의 기대 크기를 제한하고, $Y_0(w), Y_1(w), Y_2(w)$에서 중복 계산된 삼중집합을 제거한다.
• $M = 4\binom{2n/3}{n/3} + 1$을 선택하고, 3항산술급수가 없는 큰 부분집합 $B \subset \mathbb{Z}/M\mathbb{Z}$를 선택하여 $Z(w)$의 기대 크기가 높아지도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼색합자유집합 설정에서 $\mathbb{F}_2^n$에서 삼항산술급수를 갖지 않는 집합에 대한 상한과 하한 사이의 지수적 간격을 좁힐 수 있는가?
• RQ2 다항식 방법을 사용하여 $\mathbb{F}_2^n$에서 삼색합자유집합에 대해 거의 날카로운 상한을 확립할 수 있는가?
• RQ3 특성 2에서 상한선과 하위지수적 요소까지 일치하는 하한선을 구성할 수 있는가?
• RQ4 다항식 방법에서 목표 집합 크기와 계수행렬의 질량 사이의 최적의 상호관계는 무엇인가?

주요 결과

• $\mathbb{F}_2^n$에서 삼색합자유집합의 크기는 다항식 계수행렬의 질량 제약 조건에서 유도된 바에 따라 최대 $6\binom{n}{\lfloor n/3\rfloor}$이다.
• 이 상한선은 거의 날카로우며, 모든 충분히 큰 $n$에 대해 $\binom{n}{\lfloor n/3\rfloor} \cdot 2^{-\sqrt{16n/3}}$보다 큰 삼색합자유집합이 존재한다.
• 구성된 삼색합자유집합 $Z(w)$의 기대 크기는 $\binom{n}{n/3} \cdot 2^{-\sqrt{16n/3}}$를 초과하여 하한선의 하위지수적 요소와 일치한다.
• 이 구성법은 무작위 선형형식 $w$와 3항산술급수가 없는 큰 부분집합 $B \subset \mathbb{Z}/M\mathbb{Z}$에 의존하여 유효한 삼중집합이 높은 확률로 유지되도록 보장한다.
• 상한선은 하위지수적 요소까지 날카로우며, 하한선이 상한선의 기본항에서 $2^{-\sqrt{16n/3}}$ 이내이기 때문이다.
• 이 방법은 Croot-Lev-Pach 다항식 방법을 삼색구성으로 확장하여, 단일집합의 삼항산술급수를 피하는 문제 이외의 응용 가능성도 보여준다.