[논문 리뷰] A negative result on algebraic specifications of the meadow of rational numbers

J.A. Bergstra, Inge Bethke|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 02.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 표준 meadow 공리계에 유한 개의 식 (1 + x₁² + ... + xₙ²) · (1 + x₁² + ... + xₙ²)⁻¹ = 1를 추가한 경우, 또는 이를 일반화한 스키마 Hₙ로도 유리수의 역할을 갖는 meadow ℚ₀를 유한하게 기술할 수 없음을 증명한다. 핵심 결과는 이러한 유한한 기술이 존재하는지에 대한 부정적 답변이며, 이는 소수 모듈로에서의 제곱잉여의 수론적 성질과 특정 함수 f(n)의 유계성이 없음을 바탕으로 한다.

ABSTRACT

$\mathbb{Q}_0$ - the involutive meadow of the rational numbers - is the field of the rational numbers where the multiplicative inverse operation is made total by imposing $0^{-1}=0$. In this note, we prove that $\mathbb{Q}_0$ cannot be specified by the usual axioms for meadows augmented by a finite set of axioms of the form $(1+ \cdots +1+x^2)\cdot (1+ \cdots +1 +x^2)^{-1}=1$.

연구 동기 및 목표

• 유리수의 역할을 갖는 meadow ℚ₀가 표준 meadow 공리계와 형태 (1 + x₁² + ... + xₙ²) · (1 + x₁² + ... + xₙ²)⁻¹ = 1의 유한 집합을 사용하여 유한하게 기술될 수 있는지 조사하는 것.
• 이러한 식을 일반화한 스키마 Hₙ가 ℚ₀의 유한 초기 대수 기술을 제공할 수 있는지 판단하는 것.
• 소수 모듈로에서의 제곱잉여가 주어진 식이 영총화된 소수 체 (ℤ/pℤ)₀에서 성립하는지 여부를 결정하는 데서의 역할을 분석하는 것.
• 유한 개의 meadow 식 집합이 (ℤ/pℤ)₀에서 모든 소수 p에 대해 그 식이 만족되지 않음을 통해 ℚ₀를 기술하는 데 필요한 필수 및 필요충분 조건을 설정하는 것.
• Hₙ 스키마를 사용하여 ℚ₀를 유한하게 기술할 수 있는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하며, 수론적 모순을 통해 부정적인 답변을 제시하는 것.

제안 방법

• ℚ₀ ≅ 𝒪(Σ_Md, Md + E)이면且 (ℤ/pℤ)₀ ⊭ E를 모든 소수 p에 대해 만족하는 것과 동치라는 정리 1을 활용한다.
• 각 자연수 n에 대해 n과 n 모듈로에서의 최대 제곱잉여의 차이를 정의하는 함수 f(n)을 도입하며, 이때 n이 소수일 경우에만 정의된다.
• Wright의 정리(정리 2.3)를 적용하여 ℕ⁺의 모든 유한 비어있지 않은 부분집합이 무한히 많은 소수 모듈로에서 제곱잉여가 되는 것으로 보여준다.
• 이를 통해 f(n)이 유계가 아니며, 어떤 소수에 대해서는 f(n)이 임의로 크게 존재함을 증명한다.
• 유한 개의 Hₙ 공리가 ℚ₀를 기술할 수 있다고 가정하고, 이를 바탕으로 충분히 큰 f(p) > n인 경우, 이러한 공리들이 어떤 (ℤ/pℤ)₀에서 실패함을 보여 모순을 유도한다.
• 정리 1에 의해, (ℤ/pℤ)₀가 어떤 소수 p에 대해 공리들을 만족하므로, ℚ₀는 이론 Md + Γ의 초기 대수와 동형이 될 수 없으며, 따라서 이러한 유한한 Hₙ 공리 집합으로 ℚ₀를 기술할 수 없다고 결론한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 meadow 공리계와 형태 (1 + x₁² + ... + xₙ²) · (1 + x₁² + ... + xₙ²)⁻¹ = 1의 유한 집합을 사용하여 유리수의 역할을 갖는 meadow ℚ₀를 유한하게 기술할 수 있는가?
• RQ2 다중 변수로 일반화된 Hₙ 스키마의 유한 부분집합이 ℚ₀의 유한 초기 대수 기술을 제공할 수 있는가?
• RQ3 소수 모듈로에서의 제곱잉여가 주어진 식이 영총화된 소수 체 (ℤ/pℤ)₀에서 성립하는지 여부를 결정하는 데에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 n이 소수일 때 n과 그 최대 제곱잉여의 차이로 정의되는 함수 f(n)은 유계일까, 아니면 임의로 크게 증가할 수 있을까?
• RQ5 구조 ℐ(Σ_Md, Md + L₁)이 ℚ₀와 동형일 수 있는가, 아니면 ℚ₀를 부분대수로 포함하지 않는 특성 0의 비취소 meadow인가?

주요 결과

• Wright의 정리와 작은 정수들이 제곱잉여가 되는 소수를 구성함으로써 증명된 lin, n이 소수일 때 n과 그 최대 제곱잉여의 차이로 정의되는 함수 f(n)은 유계가 아니며, 무한히 큰 값을 가질 수 있다.
• 임의의 유한한 Hₙ 공리 집합에 대해, (ℤ/pℤ)₀가 그 집합의 모든 공리를 만족하는 소수 p가 존재한다. 즉, 이러한 공리들은 (ℤ/pℤ)₀를 모델에서 배제하지 않는다.
• 어느 소수 p에 대해서든 (ℤ/pℤ)₀가 공리를 만족하므로, 정리 1에 의해 ℚ₀는 이론 Md + Γ에 대한 유한한 Γ ⊂ {Hₙ | n ∈ ℕ}의 초기 대수와 동형이 될 수 없다.
• 따라서 ℚ₀는 Hₙ 스키마를 사용하여 유한하게 기술될 수 없으며, f(x) = (x²−2)(x²−3)(x²−6)를 사용한 식 f(x) · f(x)⁻¹ = 1과 같은 단일 식을 통해 기술될 수는 있다.
• 초기 대수 ℐ(Σ_Md, Md + L₁)은 ℚ₀와 동형이 아니며, ℚ₀를 부분대수로 포함하지 않는 특성 0의 비취소 meadow이다.
• 결과적으로 L₄에서 L₂로의 기술 완화는 Hₙ 스키마를 사용해 더 이상 유한하게 확장될 수 없음을 확인하며, ℚ₀의 대수적 기술에 있어 근본적인 제약을 규명한다.