[논문 리뷰] A Nehari manifold for non-local elliptic operator with concave-convex non-linearities and sign-changing weight function

Sarika Goyal, K. Sreenadh|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 19.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 볼록-볼록 비선형성과 부호가 변화하는 가중함수를 갖는 비국소적 p-분수형 타원형 방정식에 대해 최소 두 개의 음이 아닌 해가 존재함을 확립한다. 네하리 다양체 이론과 섬유화 맵 분석을 통해 저자들은 λ < λ₀ 인 충분히 작은 양수 파라미터 λ에 대해, 리만 공간 ℝⁿ 상의 소볼레프 공간 W^{α,p}(ℝⁿ) 내에서 두 개의 서로 다른 음이 아닌 약한 해가 존재함을 증명한다.

ABSTRACT

In this article, we study the existence and multiplicity of non-negative solutions of following $p$-fractional equation: $$ \quad \left\{\begin{array}{lr}\ds \quad - 2\int_{\mb R^n}\frac{|u(y)-u(x)|^{p-2}(u(y)-u(x))}{|x-y|^{n+p\al}} dxdy = \la h(x)|u|^{q-1}u+ b(x)|u|^{r-1} u \; ext{in}\; \Om \quad \quad \quad \quad u \geq 0 \; \mbox{in}\; \Om,\quad u\in W^{\al,p}(\mb R^n), \quad \quad\quad \quad\quad u =0\quad\quad ext{on} \quad \mb R^n\setminus \Om \end{array} ight. $$ where $\Om$ is a bounded domain in $\mb R^n$, $p\geq 2$, $n&gt; p\al$, $\al\in(0,1)$, $0&lt; q0$ and $h$, $b$ are sign changing smooth functions. We show the existence of solutions by minimization on the suitable subset of Nehari manifold using the fibering maps. We find that there exists $\la_0$ such that for $\la\in (0,\la_0)$, it has at least two solutions.

연구 동기 및 목표

• 비국소적 p-분수형 타원형 방정식에 대해 볼록-볼록 비선형성과 음이 아닌 해의 존재성과 다중성을 조사한다.
• 기존에 연구되지 않은 사례인, 부호가 변화하는 가중함수를 갖는 비국소적 연산자에 대해 네하리 다양체 기법을 확장한다.
• 에너지 함수와 관련된 섬유화 맵의 행동을 분석하여 네하리 다양체 상의 임계점을 식별한다.
• 변분 방법을 사용하여 작은 λ > 0 에 대해 최소 두 개의 서로 다른 음이 아닌 약한 해가 존재함을 확립한다.
• λ ∈ (0, λ₀) 인 경우에 문제에 다수의 해가 존재하도록 하는 임계값 λ₀를 특성화한다.

제안 방법

• 특정 감쇠 및 대칭 조건을 만족하는 적분 커널을 통해 정의된 연산자 𝒟_K를 사용하여 비국소적 p-분수형 방정식의 약한 해를 수립한다.
• X₀ = {u ∈ X : u = 0 거의곳곳에서 ℝⁿ \ Ω 에서} 공간 위에 에너지 함수 J_λ(u)를 정의하며, 부호가 변화하는 가중함수 h(x)와 b(x)를 포함한 비동차 항을 포함한다.
• 섬유화 맵 분석을 적용하여 u ∈ X₀ 에 대해 t ↦ J_λ(tu) 함수를 연구함으로써 임계점을 네하리 집합 𝒩_λ⁺, 𝒩_λ⁻, 𝒩_λ⁰로 분류한다.
• 네하리 다양체 분해를 통해 섬유화 맵이 하나 또는 두 개의 임계점을 갖는 영역으로 에너지 함수를 분리한다.
• λ < λ₀ 일 때, 𝒩_λ⁺ 및 𝒩_λ⁻ 상에서 J_λ의 하한이 도달됨을 증명하여 두 개의 서로 다른 임계점을 확보한다.
• X₀ 내에서 최소화 수열의 강한 수렴성을 확립하고, 𝒩_λ⁰ = ∅ 이라는 사실을 이용하여 최소화자가 각각 𝒩_λ⁺ 및 𝒩_λ⁻ 상에 있음을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 볼록-볼록 비선형성과 부호가 변화하는 가중치를 갖는 비국소적 p-분수형 타원형 방정식은 다수의 음이 아닌 해를 갖는가?
• RQ2 이러한 비국소적 문제에서 파라미터 λ 는 해의 수를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 네하리 다양체 기법은 부호가 변화하는 가중치와 비동차 비선형성을 갖는 비국소적 연산자에 대해 적응 가능한가?
• RQ4 에너지 함수와 관련된 섬유화 맵이 정확히 두 개의 임계점을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ5 λ₀ > 0 이 존재하여 λ ∈ (0, λ₀) 인 경우에 최소 두 개의 서로 다른 음이 아닌 약한 해가 존재하는가?

주요 결과

• 모든 λ ∈ (0, λ₀) 에 대해 최소 두 개의 음이 아닌 약한 해가 존재하는 임계값 λ₀ > 0 이 존재한다.
• 두 해의 존재는 네하리 다양체의 양의 부분 𝒩_λ⁺ 및 음의 부분 𝒩_λ⁻ 상에서 에너지 함수의 최소화를 통해 확립된다.
• X₀ 상에서 𝒩_λ⁺ 및 𝒩_λ⁻ 상에서 J_λ의 최소화 수열은 강한 수렴성을 보이며, 최소화자가 존재함을 확인한다.
• 네하리 다양체는 세 개의 서로소 집합으로 분해되며, 𝒩_λ⁰ = ∅ 이므로 𝒩_λ⁺ 및 𝒩_λ⁻ 상의 임계점들은 고립되고 비퇴화되어 있음을 보장한다.
• Gâteaux 도함수를 u⁻ 와 대조하여 테스트함으로써 두 해가 ℝⁿ 거의곳곳에서 음이 아닌 것으로 증명된다. 이는 u⁻ 가 반드시 0이 되어야 함을 의미한다.
• 에너지 함수 J_λ 는 X₀ 상에서 강력한 강하성과 약한 하부 연속성을 갖는다. 이는 네하리 집합 상에서 최소화자의 존재를 뒷받침한다.