[논문 리뷰] A new approach for solving nonlinear Thomas-Fermi equation based on fractional order of rational Bessel functions

Kourosh Parand, Amin Ghaderi-Kangavari외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 24.

Fractional Differential Equations Solutions인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 도메인 절단 없이 무한 구간에서 비선형 Thomas-Fermi 방정식을 해결하기 위해 새로운 분수계수 유리 Bessel 함수 콜로케이션 방법(FRBC)을 제안한다. 비선형성을 선형화하기 위해 준선형화 기법을 사용하고, 높은 정밀도 스펙트럼 해법을 위해 FRBC를 적용함으로써, 단 200개의 콜로케이션 점으로도 $ y'(0) = -1.588071022611375312718684509423 $의 초기 기울기를 30자리 소수까지 정확하게 도출한다.

ABSTRACT

In this paper, the fractional order of rational Bessel functions collocation method (FRBC) to solve Thomas-Fermi equation which is defined in the semi-infinite domain and has singularity at $x = 0$ and its boundary condition occurs at infinity, have been introduced. We solve the problem on semi-infinite domain without any domain truncation or transformation of the domain of the problem to a finite domain. This approach at first, obtains a sequence of linear differential equations by using the quasilinearization method (QLM), then at each iteration solves it by FRBC method. To illustrate the reliability of this work, we compare the numerical results of the present method with some well-known results in other to show that the new method is accurate, efficient and applicable.

연구 동기 및 목표

• x=0에서 특이성이 있고 무한대에서 경계 조건이 주어진 비선형 Thomas-Fermi 방정식을 무한 구간에서 고정밀도 스펙트럼 방법으로 해결하는 것.
• 분수계수 유리 Bessel 함수를 기저 함수로 사용함으로써 도메인 절단이나 좌표 변환의 필요성을 제거하는 것.
• 기존의 룬게-쿠타 및 아담스-바슈포스 방법처럼 악조건화되거나 정확도가 낮은 문제에서 악조건화되거나 정확도가 낮은 문제에서의 수치적 안정성과 정밀도를 뛰어넘는 것.
• 원자 에너지 계산에서 중요한 역할을 하는 Thomas-Fermi 근사에서의 초기 기울기 $ y'(0) $를 예상치 못한 정밀도로 계산하는 것.
• 비선형 특이 두점 경계값 문제를 무한 구간에서 효과적으로 해결하기 위해 FRBC 방법의 유효성을 입증하는 것.

제안 방법

• 방법은 원래의 비선형 Thomas-Fermi 방정식을 선형화하기 위해 준선형화 기법(QLM)을 적용한다.
• 각 선형화된 방정식은 분수계수 유리 Bessel 함수 콜로케이션 방법(FRBC)을 사용하여 해결되며, 이는 무한 구간에서 유리 Bessel 함수를 기저 함수로 사용한다.
• 콜로케이션 점은 스펙트럼 정밀도와 안정성을 보장하기 위해 유리 체비셰프 다항식의 근으로 선택된다.
• 이 점들에서 잔차 오차를 최소화함으로써 $ N+1 $개의 미지 계수에 대해 $ N+1 $개의 선형 방정식 시스템을 도출한다.
• 최적의 스케일링 매개변수 $ L $을 결정할 필요 없이 $ L=1 $으로 설정함으로써 정확도를 잃지 않는다.
• 수렴이 달성될 때까지 반복 과정을 계속하며, 최종 해는 분수계수 유리 Bessel 함수의 절단 급수로 근사된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수계수 유리 Bessel 함수를 기반으로 한 스펙트럼 방법이 도메인 절단 없이 무한 구간에서 비선형 Thomas-Fermi 방정식을 효과적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 이러한 특이 문제에 대해 기존의 수치적 방법인 룬게-쿠타 및 아담스-바슈포스 방법과 비교해 FRBC 방법은 정밀도와 안정성 면에서 어떻게 다른가?
• RQ3 이 새로운 접근을 통해 초기 기울기 $ y'(0) $의 정밀도는 어느 정도 달성될 수 있는가?
• RQ4 FRBC 방법은 무한 구간에 대한 스펙트럼 방법에서 최적 매개변수 조정(예: 스케일링 인자 $ L $)의 필요성을 제거하는가?
• RQ5 이 방법은 다른 비선형 특이 두점 경계값 문제를 무한 구간에서 효과적으로 해결하는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 단 200개의 콜로케이션 점으로도 초기 기울기 $ y'(0) = -1.588071022611375312718684509423 $의 값이 30자리 소수까지 매우 정확하게 도출되었다.
• 콜로케이션 점 수가 증가할수록 잔차 오차가 크게 감소하여 빠른 수렴과 높은 수치적 안정성을 보였다.
• $ y(x) $ 및 $ y'(x) $의 계산된 해는 $ x \to \infty $일 때 $ y(x) \to 0 $으로 수렴하여 경계 조건을 만족한다.
• 이 방법은 룬게-쿠타 및 아담스-바슈포스와 같은 기존 방법보다 우수한 성능을 보이며, 이 문제에 대해 악조건화되거나 정확도가 낮은 문제에서의 수치적 안정성과 정밀도를 뛰어넘는다.
• 도메인 변환 또는 절단이 필요 없으며, 스케일링 매개변수 $ L $의 조정이 필요 없어 구현이 단순해진다.
• FRBC 방법은 비선형 특이 상미분 방정식을 무한 구간에서 효과적으로 해결하기 위한 강력하고 신뢰할 수 있는 대안으로 입증되었으며, 더 넓은 응용 가능성이 있다.