[논문 리뷰] A New Approach to Generalized Fractional Derivatives

Udita N. Katugampola|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 06.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 51인용 수 491

한 줄 요약

이 논문은 매개수 ρ를 통해 리만-리우빌 및 하다르드 분수도함수를 하나의 연산자로 통합하는 새로운 일반화된 분수도함수를 제안한다. 이 도함수는 거듭제곱 변환을 포함하는 일반화된 적분 연산자를 통해 정의되며, ρ = 1일 경우(리만-리우빌) 또는 ρ → 0일 경우(하다르드) 기존 형태로 축소되며, 거듭제곱 함수에 대한 명시적 공식과 에르데리-코버 연산자와의 관계가 유도된다.

ABSTRACT

The author \mbox{(Appl. Math. Comput. 218(3):860-865, 2011)} introduced a new fractional integral operator given by, \[ \big({}^ρ\mathcal{I}^α_{a+}f\big)(x) = \frac{ρ^{1- α}}{Γ(α)} \int^x_a \frac{τ^{ρ-1} f(τ) }{(x^ρ- τ^ρ)^{1-α}}\, dτ, \] which generalizes the well-known Riemann-Liouville and the Hadamard fractional integrals. In this paper we present a new fractional derivative which generalizes the familiar Riemann-Liouville and the Hadamard fractional derivatives to a single form. We also obtain two representations of the generalized derivative in question. An example is given to illustrate the results.

연구 동기 및 목표

• 리만-리우빌 및 하다르드 분수도함수를 하나의 연산자로 통합하는 새로운 분수도함수를 개발하기 위해.
• 거듭제곱 변환 매개수 ρ를 포함하는 일반화된 적분 연산자를 사용하여 새로운 분수도함수를 정의하기 위해.
• 새로운 도함수의 해석적 표현 및 성질, 특히 거듭제곱 함수에 대한 행동을 수립하기 위해.
• 새로운 도함수가 특수한 경우로 기존의 분수도함수(리만-리우빌 및 하다르드)로 축소됨을 보여주기 위해.
• 새로운 도함수와 에르데리-코버 연산자 사이의 차이를 명확히 하여, 이들이 동치가 아니라는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 매개수 ρ를 포함하는 일반화된 적분 연산자를 통해 정의된 새로운 분수도함수 연산자 $ {}^{ ho}D^{ ho}_{a+}f(x) = \frac{\rho^{1-\rho}}{\rho\text{-} \text{Gamma}(\rho)} \left( x^{1-\rho} \frac{d}{dx} \right) \int_0^x \frac{t^{\rho-1} f(t)}{(x^{\rho} - t^{\rho})^{1-\rho}} dt $ 를 제안하여 리만-리우빌 및 하다르드 형태를 일반화한다.
• 일반화된 도함수의 두 가지 표현을 유도한다: 하나는 멜린 변환 유사 적분을 통한 표현이고, 다른 하나는 리만-리우빌 적분 및 도함수를 포함하는 급수 전개를 통한 표현이다.
• 거듭제곱 함수의 적분을 평가하기 위해 $ u = t^{\rho}/x^{\rho} $ 라는 치환을 사용하여 닫힌 형태의 결과를 도출한다.
• 베타 함수 및 감마 함수의 성질을 적용하여 명시적 공식 $ {}^{ ho}D^{\rho}_{0+}x^{\nu} = \frac{\Gamma(1 + \nu/\rho) \rho^{\alpha-1}}{\Gamma(1 + \nu/\rho - \alpha)} x^{\nu - \alpha\rho} $ 을 유도한다.
• ρ = 1일 경우 새로운 도함수가 리만-리우빌 도함수로 축소되고, ρ → 0일 경우 하다르드 도함수로 수렴함을 보여준다.
• 새로운 도함수를 에르데리-코버 연산자와 비교하여, 일부 구조적 유사성에도 불구하고 이들이 동치가 아니라는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만-리우빌 및 하다르드 분수도함수를 모두 일반화하는 단일 분수도함수 연산자를 구성할 수 있는가?
• RQ2 새로운 도함수의 매개수 ρ가 연산자의 행동 및 특수한 경우에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 거듭제곱 함수에 적용했을 때 일반화된 분수도함수의 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ4 새로운 도함수와 에르데리-코버 연산자 간의 관계는 무엇이며, 어떤 점에서 상이한가?
• RQ5 매개수 ρ가 1 또는 0으로 수렴할 때 일반화된 도함수의 극한 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 일반화된 분수도함수 $ {}^{ ho}D^{\rho}_{0+}x^{\nu} $ 는 명시적으로 $ \frac{\Gamma(1 + \nu/\rho) \rho^{\alpha-1}}{\Gamma(1 + \nu/\rho - \alpha)} x^{\nu - \alpha\rho} $ 로 도출되었으며, $ \rho > 0 $ 에 대해 유효하다.
• ρ = 1일 경우 결과는 표준 리만-리우빌 분수도함수로 축소된다: $ {}^{1}D^{\rho}_{0+}x^{\nu} = \frac{\Gamma(1 + \nu)}{\Gamma(1 + \nu - \alpha)} x^{\nu - \alpha} $.
• α = 1 및 ρ = 1일 경우 도함수는 $ \nu x^{\nu - 1} $ 를 도출하여 고전적 미분과의 일致를 확인한다.
• ρ → 0일 경우 연산자는 하다르드 분수도함수로 수렴하여 두 고전적 형태의 통합을 보여준다.
• 에르데리-코버 연산자와의 유사성에도 불구하고, 핵함수 및 매개수 의존성의 차이로 인해 새로운 도함수와는 동치가 아니다.
• 수치적 플롯은 거듭제곱 함수의 일반화된 도함수의 형태와 오목성(concavity)이 ρ 값, 특히 ρ = 1 근처에서 매우 민감하게 변하는 것으로 나타났다.