[논문 리뷰] A new approach to the LSZ reduction formula

John C. Collins|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 24.

Quantum and Classical Electrodynamics참고 문헌 11인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 상대론적 양자장론에서 점 渐진 입자 생성 연산자를 새롭게 구성하여 무한 시간 근처에서 강한 수렴(limit)을 달성함으로써 오랫동안 남아 있던 LSZ 환원 공식의 문제를 해결한다. 시간 범위 매개변수 Δt를 도입함으로써, 오직 원하는 입자 상태만 생성되며, 원래 LSZ 접근 방식에서 존재하는 UV 발산을 일으키는 부가적인 성분이 제거된다. 핵심 기여는 LSZ 및 새로운 연산자에 대해 명시적인 파인만 규칙을 포함하는 완전히 추론 가능한 스캐터링 이론의 프레임워크를 제공하는 것으로, 페르미온론적 계산을 통해 원래 LSZ 연산자가 초과 상태를 UV 발산과 함께 생성하는 것으로 확인된다.

ABSTRACT

Lehmann, Symanzik and Zimmermann (LSZ) proved a theorem showing how to obtain the S-matrix from time-ordered Green functions. Their result, the reduction formula, is fundamental to practical calculations of scattering processes. A known problem is that the operators that they use to create asymptotic states create much else besides the intended particles for a scattering process. In the infinite-time limits appropriate to scattering, the extra contributions only disappear in matrix elements with normalizable states, rather than in the created states themselves, i.e., the infinite-time limits of the LSZ creation operators are weak limits. The extra particles that are created are in a different region of space-time than the intended scattering process. To be able to work with particle creation at non-asymptotic times, e.g., to give a transparent and fully deductive treatment for scattering with long-lived unstable particles, it is necessary to have operators for which the infinite-time limits are strong limits. In this paper, I give an improved method of constructing such operators. I use them to give an improved systematic account of scattering theory in relativistic quantum field theories, including a new proof of the reduction formula. I make explicit calculations to illustrate the problems with the LSZ operators and their solution with the new operators. Not only do these verify the existence of the extra particles created by the LSZ operators and indicate a physical interpretation, but they also show that the extra components are so large that their contribution to the norm of the state is ultra-violet divergent in renormalizable theories. Finally, I discuss the relation of this work to the work of Haag and Ruelle on scattering theory.

연구 동기 및 목표

• 무한 시간 근처에서 생성 연산자가 의도한 상태 이외의 추가 입자를 생성하는 문제를 해결하기 위해 LSZ 환원 공식에서 오랫동안 남아 있던 문제를 해결한다.
• 약한 수렴이 아닌 강한 수렴을 보장하는 새로운 입자 생성 연산자를 구성하는 방법을 개발하여, 스캐터링 과정을 유한 시간 범위에서 다룰 수 있도록 한다.
• 특히 장수명 또는 불안정한 입자를 포함한 상대론적 양자장론 스캐터링에 대해 완전히 추론 가능한 체계적인 프레임워크를 제공한다.
• LSZ 연산자에서 발생하는 부가 성분의 물리적 해석을 명확히 하고, 재규격화 가능한 이론에서 이들이 초래하는 UV 발산을 입증한다.
• 새로운 형식과 하그-뤼엘 스캐터링 이론 사이의 연결 고리를 확립하여, 유한 시간에 구성된 이론이 엄밀한 점 渐진 입자 상태와 어떻게 일치하는지를 설명한다.

제안 방법

• 생성 연산자에 시간 범위 매개변수 Δt를 도입하여 $ A^{ullet}_{f}(t, \triangle t) $ 를 정의함으로써, 에너지 불확실성과 함께 $ \triangle t \to \infty $ 일 때 강한 수렴이 존재하도록 보장한다.
• 단일 시간 슬라이스로 통합되는 표준 LSZ 연산자를 대체하여, 유한 시간 간격에 걸쳐 스메어링 함수를 적용한 수정된 시간 순서 장 통합을 사용한다.
• 강한 수렴을 연산자 노름 $ \|A(t) - B\| \to 0 $ 을 통해 정의하며, 이는 모든 상태의 행렬 원소에서 수렴함을 보장한다.
• 새로운 생성 연산자에 관련된 정점에 대해 명시적인 파인만 규칙을 유도하여, 행렬 원소와 노름의 페르미온론적 계산을 가능하게 한다.
• 상호작용 그림에서 명시적인 페르미온론적 계산을 수행하여 LSZ 및 새로운 연산자가 생성하는 상태의 노름을 계산함으로써, 원래 LSZ 연산자가 UV 발산을 포함하는 것으로 드러난다.
• 모멘텀 공간 적분에서 단계 상쇄 기법을 사용하여 행렬 원소의 행동을 분석하고, 약한 수렴, 강한 수렴, 매우 강한 수렴을 구분한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 LSZ 생성 연산자가 무한 시간 근처에서 정상적인 상태와의 행렬 원소가 올바른 바에, 왜 의도한 입자 상태 이외의 상태를 생성하는가?
• RQ2 무한 시간 근처에서 강한 수렴을 보이는 새로운 유형의 생성 연산자를 구성할 수 있는가?
• RQ3 LSZ 연산자가 생성하는 상태에 존재하는 UV 발산 성분의 물리적 및 수학적 기원은 무엇인가?
• RQ4 새로운 연산자가 장수명 또는 불안정한 입자를 포함한 스캐터링 과정의 완전한 추론적 처리를 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ5 새로운 형식과 하그-뤼엘 스캐터링 이론 사이의 정확한 관계는 무엇인가, 특히 점 渐진 상태의 존재성과 관련하여 어떻게 설명되는가?

주요 결과

• LSZ 생성 연산자 $ a^{ullet}_{f}(t) $ 는 의도한 입자를 생성할 뿐 아니라, 정규화 가능한 상태와의 행렬 원소에서 상쇄되지만 상태 노름에는 여전히 UV 발산 성분을 포함한다.
• 유한한 시간 범위 $ \triangle t $ 를 가진 새로운 연산자 $ A^{ullet}_{f}(t, \triangle t) $ 는 무한 시간 근처에서 강한 수렴이 되도록 보장하여 상태 자체에서 부가 성분이 제거된다.
• 페르미온론적 계산을 통해 재규격화 가능한 이론에서 LSZ 연산자가 생성하는 상태의 노름이 UV 발산을 포함하는 것으로 확인되었고, 새로운 연산자는 이러한 발산을 피한다.
• 새로운 연산자의 강한 수렴이 존재하는 이유는 추가 성분이 행렬 원소 뿐 아니라 상태 벡터 자체에서 사라지기 때문이다. 이는 시간 범위 스메어링 덕분이다.
• 새로운 형식은 새로운 생성 연산자 정점에 대해 명시적인 파인만 규칙을 제공하여, 그들의 행렬 원소와 노름에 대한 체계적 페르미온론적 계산을 가능하게 한다.
• 분석 결과, 시간 이동 대칭성이 있는 이론에서 LSZ 또는 새로운 연산자 모두에 대해 매우 강한 수렴(연산자 노름 수렴)은 존재하지 않으며, 이는 행렬 원소에서의 단계 상쇄로 인한 것이다.