[논문 리뷰] A New Approach to the $r$-Whitney Numbers by Using Combinatorial Differential Calculus

Jósé L. Ramírez, Miguel A. Méndez|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 21.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 문법 $G = \{y \to yx^m, x \to x\}$ 기반의 조합적 미분법을 이용해 $r$-Whitney 수의 제2종에 대한 새로운 조합적 해석을 제안한다. $m=1$으로 특수화할 경우, $r$-Stirling 수에 대한 새로운 조합적 모델을 제공하며, $[m]$-Stirling 수의 제1종과 제2종을 정의함으로써 일반화된 Touchard 다항수 가족을 도출한다. 주요 기여는 $r$-Dowling 다항수를 $[m]$-Touchard 다항수에 대해 Sheffer 가족으로 규명하고, Riordan 행렬과 임베드 계산법을 통해 Bernoulli 다항수와 Euler 다항수를 포함한 새로운 행렬식 항등식과 조합 항등식을 유도하는 데 있다.

ABSTRACT

In the present article we introduce two new combinatorial interpretations of the $r$-Whitney numbers of the second kind obtained from the combinatorics of the differential operators associated to the grammar $G:=\{ y ightarrow yx^{m}, x ightarrow x\}$. By specializing $m=1$ we obtain also a new combinatorial interpretation of the $r$-Stirling numbers of the second kind. Again, by specializing to the case $r=0$ we introduce a new generalization of the Stirling number of the second kind and through them a binomial type family of polynomials that generalizes Touchard's. Moreover, we show several well-known identities involving the $r$-Dowling polynomials and the $r$-Whitney numbers using the combinatorial differential calculus. Finally we prove that the $r$-Dowling polynomials are a Sheffer family relative to the generalized Touchard binomial family, study their umbral inverses, and introduce $[m]$-Stirling numbers of the first kind. From the relation between umbral calculus and the Riordan matrices we give several new combinatorial identities involving the $r$-Whitney number of both kinds, Bernoulli and Euler polynomials.

연구 동기 및 목표

• 조합적 미분법을 이용해 $r$-Whitney 수의 제2종에 대한 새로운 조합적 해석을 개발한다.
• 문법 $G = \{y \to yx^m, x \to x\}$ 기반의 새로운 모델을 통해 $r$-Stirling 수의 제2종을 일반화한다.
• $[m]$-Stirling 수의 제1종과 제2종을 정의하고, $[m]$-Touchard 다항수를 Touchard 다항수의 이항형 일반화로 도입한다.
• $r$-Dowling 다항수를 $[m]$-Touchard 다항수에 대해 Sheffer 가족으로 규명한다.
• 임베드 계산법과 Riordan 행렬 기법을 이용해 $r$-Whitney 수, Bernoulli 다항수, Euler 다항수를 포함한 새로운 조합 항등식을 도출한다.

제안 방법

• 저자들은 문법 $G = \{y \to yx^m, x \to x\}$ 기반의 조합적 미분법을 사용하여 $r$-Whitney 수의 제2종에 대한 조합적 해석을 생성한다.
• 지수 Riordan 행렬의 $A$-시퀀스와 $Z$-시퀀스를 이용해 $r$-Whitney 수의 제2종에 대한 재귀 관계를 도출한다.
• 임베드 계산법과 생성함수 기법을 통해 $r$-Dowling 다항수를 $[m]$-Touchard 다항수에 대해 Sheffer 가족으로 규명한다.
• $r$-Whitney 수의 제1종은 지수 Riordan 행렬 $\left\langle (1+mz)^{-r/m}, \ln(1+mz)^{1/m} \right\rangle$로 특징지어지며, $A$-시퀀스의 생성함수는 Bernoulli 수를 포함한다.
• 행렬 행렬식을 재귀적으로 표현하고 결과 행렬의 행렬식을 전개함으로써 행렬식 항등식을 도출한다.
• 임베드 계산법과 Riordan 행렬 간의 연결 고리를 활용하여 Bernoulli 및 Euler 다항수를 포함한 새로운 항등식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특정 문법에서 유도된 미분 연산자를 사용해 $r$-Whitney 수의 제2종을 어떻게 재조합적으로 해석할 수 있는가?
• RQ2 $m=1$일 때 문법 기반 모델에서 어떤 새로운 조합적 구조가 나타나며, 이는 $r$-Stirling 수의 제2종과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 $[m]$-Stirling 수의 제2종으로부터 일반화된 Touchard 다항수 가족을 구성할 수 있으며, 그 성질은 무엇인가?
• RQ4 $r$-Dowling 다항수가 $[m]$-Touchard 다항수에 대해 Sheffer 가족인지 여쭙고, 이를 임베드 계산법으로 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ5 Riordan 행렬 프레임워크를 통해 $r$-Whitney 수, Bernoulli 다항수, Euler 다항수를 포함한 새로운 조합 항등식은 무엇을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• $r$-Whitney 수의 제2종은 제1종 Cauchy 수에서 유도된 계수를 포함하는 재귀 관계를 만족한다: $W_{m,r}(n+1,k+1) = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{n+1}{k+1} \binom{k+j}{j} c_j m^j W_{m,r}(n,k+j)$.
• $r$-Whitney 수의 제1종은 지수 Riordan 행렬 $\left\langle (1+mz)^{-r/m}, \ln(1+mz)^{1/m} \right\rangle$로 특징지어지며, $A$-시퀀스의 생성함수는 Bernoulli 수를 포함한다.
• $r$-Dowling 다항수 $\mathcal{D}_n^{[m,r]}(x)$는 행렬식 항등식 ${\mathcal{D}}_{n}^{[m,r]}(x)=(-1)^{n}\begin{vmatrix}1&x&&\cdots&&x^{n-1}&x^{n}\\ 1&w_{m,r}(1,0)&&\cdots&&w_{m,r}(n-1,0)&w_{m,r}(n,0)\\ 0&1&&\cdots&&w_{m,r}(n-1,1)&w_{m,r}(n,1)\\ \vdots&&&\cdots&&&\vdots\\ 0&0&&\cdots&&1&w_{m,r}(n,n-1)\end{vmatrix}$를 만족한다.
• $r$-Dowling 다항수는 임베드 계산법과 생성함수 분석을 통해 $[m]$-Touchard 다항수에 대해 Sheffer 가족임을 규명하였다.
• $[m]$-Stirling 수의 제1종은 $[m]$-Stirling 수의 제2종의 임베드 역으로 정의되며, Stirling 수의 새로운 일반화를 이끌어낸다.
• Riordan 행렬 프레임워크와 임베드 계산법 및 Riordan 행렬 간의 연결 고리를 활용하여 $r$-Whitney 수, Bernoulli 다항수, Euler 다항수를 포함한 새로운 조합 항등식이 도출되었다.