[논문 리뷰] A new approach toward locally bounded global solutions to a $3D$ chemotaxis-stokes system with nonlinear diffusion and rotation

Jiashan Zheng|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 05.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비선형 다공성 매질 확산($m > 9/8$), 텐서 값 감지성, 그리고 회전하는 플럭스를 가진 3차원 화학유인-스토크스 시스템에 대해 전역적으로 유계인 약한 해의 존재성을 확립한다. 함수적 구조 $\int_\Omega n\ln n + \int_\Omega |\nabla\sqrt{c}|^2 + \int_\Omega |u|^2$ 내에 새로운 기울기 유사 구조를 도입함으로써, 모든 $t \in (0,T)$에 대해 $n$, $c$, $u$의 국소적 $L^\infty$ 유계성을 증명하며, 텐서 값 화학유인 감지성과 함께 존재하는 시스템에서의 핵심 과제를 해결한다.

ABSTRACT

We consider a degenerate quasilinear chemotaxis--Stokes type involving rotation in the aggregative term, \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} n_t+u\cdot abla n=Δn^m- abla\cdot(nS(x,n,c)\cdot abla c),\quad x\in Ω, t>0, c_t+u\cdot abla c=Δc-nc, x\in Ω, t>0,\\ u_t+ abla P=Δu+n abla ϕ,x\in Ω, t>0,\\ abla\cdot u=0, x\in Ω, t>0, \end{array} ight. \end{equation} where $Ω\subseteq \mathbb{R}^3$ is a bounded convex domain with smooth boundary. Here $ S\in C^2(\barΩ imes[0,\infty)^2;\mathbb{R}^{3 imes3})$ is a matrix with $s_{i,j}\in C^1( \barΩ imes [0, \infty) imes[0, \infty)).$ Moreover, $|S(x,n,c)| \leq S_0(c)$ for all $(x,n,c)\in \barΩ imes [0, \infty) imes[0, \infty)$ with $S_0(c)$ nondecreasing on $[0,\infty)$. If $$m>\frac{9}{8}, $$ then for all reasonably regular initial data, a corresponding initial-boundary value problem for $(0.1)$ possesses a globally defined weak solution $(n,c,u)$. Moreover, for any fixed $T > 0$ this solution is bounded in $Ω imes (0,T)$ in the sense that $$ \|u(\cdot,t)\|_{L^\infty(Ω)} +\|c(\cdot,t)\|_{W^{1,\infty}(Ω)}+\|n(\cdot,t)\|_{L^\infty(Ω)} \leq C ~~\mbox{for all}~~ t\in(0,T) $$ is valid with some $C(T) > 0$.

연구 동기 및 목표

• 비선형 확산과 텐서 값 감지성을 가진 3차원 화학유인-스토크스 시스템에 대해 약한 해의 전역 존재성과 국소적 유계성을 확립하는 것.
• 회전 플럭스와 텐서 값 감지성을 가진 시스템에서 자연스러운 기울기 유사 구조가 부재한 문제를 다루는 것.
• 스칼라 감지성과 유체 없음 경우에 대한 이전 결과를 더 복잡하고 생물학적으로 관련성이 높은 행렬 값 감지성의 경우로 확장하는 것.
• 표준 리아푸노프 함수가 없는 경우에도 시스템의 소산 성격을 포착할 수 있는 새로운 기능적 구조를 개발하는 것.

제안 방법

• 시스템 내 기울기 유사 소산을 포착하기 위해 새로운 기능적 구조 $\int_\Omega n\ln n + \int_\Omega |\nabla\sqrt{c}|^2 + \int_\Omega |u|^2$ 를 도입하는 것.
• 비선형 확산의 특이성과 폭발 방지를 위해 $\varepsilon$-편항을 가진 정규화된 근사 시스템을 사용하는 것.
• 열 반군에 대한 $L^p$-$L^q$ 추정을 적용하여 $c$와 $u$의 고차원 노름을 제어하는 것.
• 모저 반복과 아불린-라온스 컴actness 보조정리를 활용하여 $n_\varepsilon$ 및 그 거듭제곱의 강한 수렴성을 도출하는 것.
• $\varepsilon$에 독립적으로 $\|n_\varepsilon\|_{L^\infty}$, $\|c_\varepsilon\|_{W^{1,\infty}}$, $\|u_\varepsilon\|_{L^\infty}$의 균일한 유계성을 확립하는 것.
• 약한* 수렴과 강한 수렴을 이용하여 $\varepsilon \to 0$로의 극한을 취함으로써 전역 약한 해를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 확산($m > 9/8$)과 텐서 값 감지성을 가진 3차원 화학유인-스토크스 시스템에 대해 전역적으로 유계인 해를 확립할 수 있는가?
• RQ2 화학유인 항에 회전 플럭스가 존재할 경우 해의 유계성이 방해되며, 만약 그렇다면 이를 극복할 수 있는가?
• RQ3 표준 리아푸노프 함수가 없는 텐서 감지성 경우에도 시스템을 제어할 수 있는 새로운 기울기 유사 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ4 확산 지수 $m$에 따라 $n$, $c$, $u$의 유계성은 어떻게 달라지는가?
• RQ5 이전의 스칼라 감지성 또는 유체 없음 시스템에 대한 결과들은 어느 정도까지 확장되는가?

주요 결과

• 모든 $m > 9/8$ 에 대해, 텐서 값 감지성을 가진 화학유인-스토크스 시스템의 초기-경계값 문제는 전역적으로 정의된 약한 해를 갖는다.
• 모든 $t \in (0,T)$ 및 어떤 $C(T) > 0$ 에 대해 $\|u(\cdot,t)\|_{L^\infty(\Omega)} + \|c(\cdot,t)\|_{W^{1,\infty}(\Omega)} + \|n(\cdot,t)\|_{L^\infty(\Omega)} \leq C$ 를 만족하며, 이는 국소적 $L^\infty$ 유계성을 보장한다.
• 새로운 기능적 구조 $\int_\Omega n\ln n + \int_\Omega |\nabla\sqrt{c}|^2 + \int_\Omega |u|^2$ 는 표준 리아푸노프 함수가 없더라도 에너지 유사 추정이 가능한 기울기 유사 구조를 나타낸다.
• 이 결과는 상수 감지성 $S = C_S$ 인 타오와 윈클러의 작업을 확장하며, $m=1$ 이고 $S=C_S$ 일 때 정즈와 왕의 유체 없음 결과와 일관된다.
• 모저 반복, 아불린-라온스 보조정리, $L^p$-$L^q$ 추정의 새로운 조합에 기반하여 $n_\varepsilon$ 의 강한 수렴성과 균일한 유계성을 확보한다.
• $\varepsilon \in (0,1)$ 전역에서 $n_\varepsilon$, $c_\varepsilon$, $u_\varepsilon$ 의 $L^\infty$ 유계성이 균일하게 제어되며, 이는 전역 약한 해로의 극한 전환을 가능하게 한다.