[논문 리뷰] A New Approximation Guarantee for Monotone Submodular Function Maximization via Discrete Convexity

Tasuku Soma, Yuichi Yoshida|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 09.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 M♮-병립 함수를 활용하여 기수 제약 조건 하에서 단조 감소하는 부분함수 최대화 문제에 대해 새로운 근사 보장을 제안한다. h-편향도를 정의하여 기저 함수 h에 대한 이탈 정도를 측정하고, 임의의 ǫ > 0에 대해 다항 시간 알고리즘이 (1 − γh/e − ǫ)-근사해를 달성함을 제시한다. h-편향도가 작을 경우 기존의 고전적 1 − 1/e bound에 비해 크게 향상된다.

ABSTRACT

In monotone submodular function maximization, approximation guarantees based on the curvature of the objective function have been extensively studied in the literature. However, the notion of curvature is often pessimistic, and we rarely obtain improved approximation guarantees, even for very simple objective functions. In this paper, we provide a novel approximation guarantee by extracting an M^{natural}-concave function h:2^E -> R_+, a notion in discrete convex analysis, from the objective function f:2^E -> R_+. We introduce a novel notion called the M^{natural}-concave curvature of a given set function f, which measures how much f deviates from an M^{natural}-concave function, and show that we can obtain a (1-gamma/e-epsilon)-approximation to the problem of maximizing f under a cardinality constraint in polynomial time, where gamma is the value of the M^{natural}-concave curvature and epsilon > 0 is an arbitrary constant. Then, we show that we can obtain nontrivial approximation guarantees for various problems by applying the proposed algorithm.

연구 동기 및 목표

• 단조 감소하는 부분함수 최대화 문제에서 이론적 근사 보장과 실질적 성능 간 격차를 해소하기 위해.
• 표준 편향 개념을 넘어서 실세계 성능을 더 잘 반영하는 보다 정교한 근사 보장을 개발하기 위해.
• M♮-병립 함수를 기반으로 더 넓은 범위의 '간단한' 부분함수 클래스를 식별하고, 그 구조를 활용해 근사 성능을 향상시키기 위해.
• 시설 위치 문제 및 가중치가 부여된 매트로이드 랭크 함수 등 다양한 문제에 적용 가능한 일반적인 알고리즘 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 단조 감소하는 부분함수 f를 f = g + h로 분해하며, 여기서 g는 단조 감소하는 부분함수이고 h는 M♮-병립 함수이다.
• h-편향도 γh를 모든 X ⊆ E에 대해 h(X) ≥ (1 − γ)f(X)를 만족하는 최소 γ로 정의하거나, 등가적으로 γh = max_X g(X)/f(X)로 정의한다.
• g와 h의 값 오라클을 사용하여 다항 시간 내에 랜덤화된 알고리즘을 구현하고, 임의의 ǫ > 0에 대해 E[f(X)] ≥ (1 − γh/e − ǫ)f(O)를 확보한다.
• 적절한 h와 g 분해를 구성함으로써 시설 위치 문제 및 가중치가 부여된 매트로이드 랭크 함수의 합과 같은 문제에 알고리즘을 적용한다.
• M♮-병립 함수는 그로비 방법을 통해 효율적으로 최대화될 수 있음을 활용하여 h-부분의 효율적 최적화를 가능하게 한다.
• 이론적 경계를 제시하여 h-편향도 γh는 항상 표준 편향도 c 이하이며, 실질적인 경우에 크게 작을 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 편향도를 넘어서 더 정교한 편향도 측정법이 단조 감소하는 부분함수 최대화 문제에서 더 나은 근사 보장을 이끌 수 있는가?
• RQ2 M♮-병립 함수가 일반적인 단조 감소하는 부분함수를 더 효과적으로 분해하고 근사하기 위한 구조적 기반으로 기능할 수 있는가?
• RQ3 제안된 h-편향도 프레임워크가 시설 위치 문제 및 커버리지 함수와 같은 실질 문제에서 기존 보장보다 비현실적으로 향상되는가?
• RQ4 그리디 알고리즘이 1 − 1/e를 초월해 실질적으로 더 잘 작동하는 실세계 인스턴스에서 h-편향도는 표준 편향도와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이 프레임워크는 이 논문에서 다룬 클래스를 초월해 다른 부분함수 클래스로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 임의의 ǫ > 0에 대해 다항 시간 내에 (1 − γh/e − ǫ)-근사해를 달성하며, 여기서 γh는 분해 f = g + h의 h-편향도이다.
• 시설 위치 문제의 경우 h-편향도 γh는 γh ≤ c − (∑ᵢ wᵢ,min)/(∑ᵢ wᵢ,max)로 유계이며, 이는 표준 편향도 c보다 엄밀히 더 좋은 보장을 보여준다.
• 가중치가 부여된 매트로이드 랭크 함수의 합의 경우 h-편향도는 γh ≤ c − (∑ᵢ wᵢ,min)/Wᵢ를 만족하며, 여기서 Wᵢ는 매트로이드 i의 기저의 최대 무게이다.
• h-편향도 γh는 항상 표준 편향도 c 이하이며, 실질적인 경우에 크게 작을 수 있어 이론과 실천 간 격차를 설명한다.
• 이 프레임워크는 모듈러 함수가 아닌 함수들, 예를 들어 (가중치가 부여된) 매트로이드 랭크 함수 및 라미너 콘 cave 함수 등에도 적용 가능하며, 이는 모듈러함수에서 멀리 떨어져 있지만 여전히 효율적인 근사가 가능한 경우이다.
• Sviridenko, Vondrák, Ward의 이전 결과를 초월하여, 함수의 구조적 분해에 따라 달라지는 더 날카로운 근사 보장을 제공함으로써 보다 탴드된 근사 보장을 달성한다.