[논문 리뷰] A new asymptotic enumeration technique: the Lovasz Local Lemma

Linyuan Lü, Łászló A. Székely|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 25.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 20인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 완전 그래프에서 매칭 및 고정된 둘레를 가진 차수 수열에 대해 점점 커지는 수의 계수 문제에 비틀린 Lovász 국소 렘마를 적용하는 새로운 응용을 제시한다. 이는 매칭, 레이턴 식과 같은 순열 및 레이턴 사각형 계수 문제의 새로운 증명을 가능하게 하며, 정규 그래프 수 계수 및 차수 수열과 둘레에 따른 그래프 계수의 새로운 결과를 도출한다. 또한, 약간의 차수 수열 조건 하에 고둘레, 고색수 그래프의 존재를 보여주는 에르되시의 정리에 대해 새로운 확률적 증명을 제공한다.

ABSTRACT

Our previous paper applied a lopsided version of the Lovász Local Lemma that allows negative dependency graphs to the space of random injections from an $m$-element set to an $n$-element set. Equivalently, the same story can be told about the space of random matchings in $K_{n,m}$. Now we show how the cited version of the Lovász Local Lemma applies to the space of random matchings in $K_{2n}$. We also prove tight upper bounds that asymptotically match the lower bound given by the Lovász Local Lemma. As a consequence, we give new proofs to results on the enumeration of $d$-regular graphs. The tight upper bounds can be modified to the space of matchings in $K_{n,m}$, where they yield as application asymptotic formulas for permutation and Latin rectangle enumeration problems. The strength of the method is shown by a new result: enumeration of graphs by degree sequence or bipartite degree sequence and girth. As another application, we provide a new proof to the classical probabilistic result of Erd\H os that showed the existence of graphs with arbitrary large girth and chromatic number. If the degree sequence satisfies some mild conditions, almost all graphs with this degree sequence and prescribed girth have high chromatic number.

연구 동기 및 목표

• 완전 그래프 $K_{2n}$에서의 무작위 완전 매칭 공간에 비틀린 Lovász 국소 렘마를 적용하여, 새로운 점점 커지는 계수 기법을 가능하게 한다.
• 무작위 매칭의 맥락에서 부정적 의존성 그래프를 구성하는 프레임워크를 개발하여 이전 방법의 한계를 극복한다.
• Lovász 국소 렘마에서 유도된 하한과 점점 커지는 상한이 정확히 일치하도록 날카운 상한을 유도한다.
• 이 프레임워크를 사용하여, 차수 수열과 둘레에 따른 그래프 및 이분 그래프의 계수 문제를 포함한 새로운 문제들에 응용한다. 또한, 고둘레 및 고색수 그래프에 대한 고전적 결과들을 재증명한다.

제안 방법

• 완전 매칭으로 확장된 부분 매칭에 정의된 사건들 사이에 부정적 의존성 그래프를 구성한다. 여기서 간선은 두 부분 매칭의 합집합이 더 이상 매칭이 되지 않을 때 형성된다.
• 적절히 선택된 $x_i$ 값들을 사용하여 비틀린 Lovász 국소 렘마를 적용하여, 악성 사건이 모두 발생하지 않을 확률의 하한을 도출한다.
• 포isson 근사법과 조건부 확률 추정을 사용하여, 주어진 차수 수열을 가진 무작위 그래프가 짧은 사이클을 포함하지 않을 확률을 추정한다.
• 구성 모델과 지수 생성함수를 사용하여, 고정된 차수 수열과 최소 둘레 $g$를 가진 그래프의 수에 대한 점점 커지는 공식을 유도한다.
• 일반적인 차수 수열로 일반화하기 전에 분석을 단순화하기 위해 먼저 정규 그래프에 프레임워크를 적용한다.
• 에르되시의 고둘레 및 고색수 그래프에 대한 결과를 재검토하여, 둘레 $g \geq 3$인 경우에 약간의 차수 수열 조건 하에 거의 모든 그래프가 $k$-색칠 불가능하다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비틀린 Lovász 국소 렘마는 완전 그래프 $K_{2n}$에서의 무작위 완전 매칭 공간에 효과적으로 적용되어 점점 커지는 계수 결과를 도출할 수 있는가?
• RQ2 주어진 차수 수열과 둘레 $g$를 가진 그래프의 수에 대한 날카운 상한은 무엇이며, Lovász 국소 렘마에서 유도된 하한과 어떻게 일치하는가?
• RQ3 이 프레임워크를 사용하여 순열 및 레이턴 사각형 계수 문제에 대한 기존 결과를 재증명하거나 강화할 수 있는가?
• RQ4 차수 수열에 어떤 조건이 충족되어야, 주어진 차수 수열과 둘레 $g$를 가진 거의 모든 그래프가 높은 색수를 가질 수 있는가?
• RQ5 이 방법을 사용하여 고둘레, 고색수 그래프의 존재를 보여주는 에르되시의 결과를 더 일반적인 설정에서 새로운 방식으로 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 주어진 차수 수열과 최소 둘레 $g \geq 4$를 가진 이분 그래프의 수는 점점 커지는 수로 $ (1+o(1)) \frac{N!}{\prod_i d_i! \delta_i!} \exp\Bigl(-\sum_{i=1}^{(g-2)/2} \frac{(\bar{D})^i (\bar{\Delta})^i}{2i (\bar{d})^{2i}}\Bigl) $와 같으며, 여기서 $N$은 간선의 수이다.
• 집합 $\mathcal{C} \subseteq \{4,6,\dots,g-2\}$에 속하는 길이의 사이클이 없는 그래프의 수는 점점 커지는 수로 $ (1+o(1)) \frac{N!}{\prod_i d_i! \delta_i!} \exp\Bigl(-\frac{\bar{D} \bar{\Delta}}{2(\bar{d})^2} - \sum_{i \in \mathcal{C}} \frac{(\bar{D})^i (\bar{\Delta})^i}{2i (\bar{d})^{2i}}\Bigl) $와 같다.
• $\bar{d} \geq 3$ 이고 $k^2 < (1 - \epsilon) \frac{\bar{d}}{2 \log 2}$ 이면, 주어진 차수 수열과 최소 둘레 $g \geq 3$를 가진 거의 모든 그래프는 $k$-색칠 불가능하다.
• 이 방법은 에르되시의 정리에 대한 새로운 증명을 제공하며, 이는 이제 약간의 차수 수열 조건 하에 임의로 큰 둘레와 색수를 가진 그래프의 존재를 보여준다.
• 이 프레임워크는 순열, 레이턴 사각형, 정규 그래프 등 여러 고전적 계수 문제에 대해 간단하고 통합된 증명을 제공한다.
• 유도된 상한은 점점 커지는 수로 Lovász 국소 렘마의 하한과 정확히 일치하며, 이는 이 방법의 정밀도를 확인한다.