[논문 리뷰] A New Automorphism Of X0(108)

Michael Harrison|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 29.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 켄쿠와 모모세의 $X_0(108)$의 자기동형군 분석에서 발생한 오류를 수정하며, 상반평면 위의 행렬 작용에 의해 유도되는 자기동형군 $B_0(108)$가 전체 자기동형군 $A_0(108)$의 지수 2 부분군임을 증명한다. 저자들은 모듈라 형식과 그로버 기저 계산을 통해 $X_0(108)$의 표준 모델 위에 순서 2인 명시적인 새로운 자기동형을 구성하며, 이 자기동형이 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{2})$ 위에서 정의되지만 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 위에서는 정의되지 않음을 보여, $X_0(N)$의 예외적 케이스 분류에서 오랫동안 남아 있던 격차를 해결한다.

ABSTRACT

Let X0(N) denote the modular curve classifying elliptic curves with a cyclic N-isogeny, A0(N) its group of algebraic autmorphisms and B0(N) the subgroup of automorphisms coming from matrices acting on the upper halfplane. In a well-known paper, Kenku and Momose showed that A0(N) and B0(N) are equal (all automorphisms come from matrix action) when X0(N) has genus at least 2, except for N = 37 and 63. However, there is a mistake in their analysis of the N = 108 case. In the style of Kenku and Momose, we show that B0(108) is of index 2 in A0(108) and construct an explicit new automorphism of order 2 on a canonical model of X0(108).

연구 동기 및 목표

• 켄쿠와 모모세의 $X_0(108)$ 분석에서 발생한 결함을 수정하는 것: 그들은 $A_0(108) = B_0(108)$라고 잘못 결론 내렸다.
• 이를 통해 $B_0(108)$가 $A_0(108)$의 지수 2 부분군임을 입증함으로써, $A_0(N) \neq B_0(N)$인 예외적 $N$에 대한 분류에서 $N=108$의 케이스를 해결한다.
• 상반평면 위의 행렬 작용에 의해 유도되지 않는, 순서 2인 명시적이고 수학적으로 투명한 $X_0(108)$ 위의 자기동형을 구성하는 것.
• 새로운 자기동형의 정의 체를 확인하고, 비자명한 자기동형이 기대하는 바와 같이 $k(108) = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$를 초월함을 확인하는 것.

제안 방법

• 유한체 $\mathbb{F}_p$ 위에서 Magma 계산을 통해 $\mathbb{F}_{31}$에서 $X_0(108)$가 $B_0(108)$의 크기의 두 배인 216개의 자기동형을 가짐을 관찰함으로써, $A_0(108)$에서 지수 2일 가능성이 제기된다.
• 켄쿠와 모모세의 $N=108$에 대한 추론을 재분석하여, $j$-불변수가 0인 복소 multiplication(M) 타원곡선 인자 $E$ 위에서 비자명한 자기동형 $\gamma$가 $\pm 1$로 작용한다고 가정한 것이 오류였음을 밝힘. 실제로는 3제곱근 단위로 작용할 수 있음.
• 홀로모르픽 미분 형식 공간 위에서의 작용을 결정하기 위해 두 개의 미지 매개변수 $a$와 $b$를 포함한 행렬을 사용하여 순서 2인 후보 자기동형 $u$를 구성.
• $X_0(108)$의 표준 모델이 $\mathbb{P}^9$에서 28개의 이차관계로 정의됨을 이용하여, $u$의 행렬 작용을 관계식에 대입함으로써 $a$와 $b$에 대한 0차원 아이디얼을 유도.
• Magma에서 그로버 기저 알고리즘을 적용하여 연립방정식을 해결함으로써 $b = z a^2$와 $a^3 = -1/2$를 얻음. 여기서 $z = \sqrt{-3}$, $c^3 = 2$이며, 이로부터 명시적인 자기동형 공식을 도출.
• 구성된 자기동형 $u$가 $X_0(108)$ 위에서 정확히 두 점만 고정하며, 미분형식 위에서 $M$이 아닌 $-M$으로 작용하고, 캐우스를 비캐우스 점들로 매핑함을 확인함으로써, $B_0(108)$에 속하지 않음을 확인함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $B_0(108)$가 켄쿠와 모모세의 주장과는 달리, 유한체 계산에서 나타나는 것처럼 $A_0(108)$의 지수 2 부분군인지 여쭤보는 것.
• RQ2 상반평면 위의 행렬 작용에 의해 유도되지 않는, $X_0(108)$ 위에 순서 2인 새로운 자기동형을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 켄쿠와 모모세의 추론이 $N=108$에서 왜 실패했는가? 특히 $j$-불변수가 0인 CM 타원곡선 인자 위에서 자기동형의 작용에 관해.
• RQ4 새로운 자기동형의 정의 체는 무엇이며, 기대한 바와 같이 $k(108) = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$를 엄밀히 초월하는가?
• RQ5 새로운 자기동형이 $X_0(108)$의 표준 모델을 보존하고 캐우스 집합 위에서 비자명하게 작용하는가?

주요 결과

• $B_0(108)$는 $A_0(108)$의 지수 2 부분군이며, 이는 켄쿠와 모모세의 $N=108$ 분석에서 발생한 오류를 수정한 것이다.
• 표준 모델 위에 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3}, \sqrt[3]{2})$ 위에서 정의되지만 $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ 위에서는 정의되지 않는 순서 2의 명시적 자기동형 $u$가 구성되었다.
• 자기동형 $u$는 $X_0(108)$의 미분형식 위에서 $-M$으로 작용하며, 여기서 $M$은 고유값이 각각 6과 4의 중복도를 가지는 $\pm 1$을 가진 행렬이다.
• 商 곡선 $Y = X_0(108)/\langle u \rangle$의 기하학적 종수는 4이며, 히르츠-포뮬러와 일치하며, $u$가 정확히 두 개의 고정점을 가짐을 확인함.
• 자기동형 $u$는 캐우스 집합을 서로소인 점들로 매핑함을 확인하여, 코로나리에이 2.4(켄쿠와 모모세, 1985)에 따라 $B_0(108)$에 속하지 않음을 확인함.
• $X_0(108)$의 표준 모델은 $\mathbb{P}^9$에서 28개의 이차관계로 정의되며, 새로운 자기동형은 좌표 $x_1, \dots, x_{10}$에 대한 작용을 통해 명시적으로 기술된다.