[논문 리뷰] A New Bijection Between Forests and Parking Functions

Heesung Shin|ArXiv.org|2008. 10. 02.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 1인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 루트가 있는 숲과 주차 함수 사이의 비재귀적 전단사 사상(비재귀적 전단사)을 제시하며, 동시에 세 가지 핵심 통계량인 전위수, 리더 수, 나무 수를 유지한다. 이 구성은 Gessel과 Seo의 주차 함수에서 '다행의 통계량(lucky statistic)'에 대한 공식에 대한 전단사적 증명을 제공하며, Stanley가 2007년에 제기한 비재귀적 대응에 대한 오랫동안 미해결된 열린 질문을 해결한다.

ABSTRACT

In 1980, G. Kreweras gave a recursive bijection between forests and parking functions. In this paper we construct a nonrecursive bijection from forests onto parking functions, which answers a question raised by R. Stanley. As a by-product, we obtain a bijective proof of Gessel and Seo's formula for lucky statistic on parking functions.

연구 동기 및 목표

• 2007년 Stanley가 제기한 질문에 대응하여, 루트가 있는 숲과 주차 함수 사이의 비재귀적 전단사 사상을 구성하는 것.
• 주차 함수에서 다행의 통계량에 대한 Gessel과 Seo의 생성함수 공식에 대한 전단사적 증명을 제공하는 것.
• 세 가지 조합 통계량인 숲에서의 전위수, 리더 수, 나무 수와 주차 함수에서의 점프 수, 다행 값, 임계 차량 수 사이의 동시에 성립하는 대응 관계를 확립하는 것.
• 구성적 비재귀적 사상에 의해 양 쪽의 통계량에 대한 생성함수들이 정확히 일치함을 보이는 것.

제안 방법

• 숲 F의 각 정점 v를 주차 함수 φ(F)의 차량 c에 대응시키는 정점-차량 대응 θF를 정의하여, inv(F:v) = jump(φ(F):c)가 성립하도록 한다.
• 유일한 표현을 보장하기 위해 숲에 대한 표준화된 그림 규칙을 적용: 루트를 상단에 배치하고, 최대 레이블 기준으로 트리를 정렬하며, 형제들은 후손의 최대 레이블 기준으로 정렬한다.
• 숲의 구조에서 파생된 순서열에 주차 알고리즘을 적용하여 φ(F)를 생성함으로써, 전단사 사상이 비재귀적임을 보장한다.
• 숲 F의 리더 수가 φ(F)의 다행 차량 수와 같고, F의 나무 수가 φ(F)의 임계 차량 수와 같음을 입증한다.
• 전위수, 나무 수 및 주차 함수의 대응 통계량에 대한 다변수 생성함수 In(q;c)와 Jn(q;c)를 정의하고, 전단사 사상을 통해 그 등가성을 증명한다.
• 역 사상(역사상)을 사용하여, 역 주차 순서에서의 오른쪽에서 왼쪽으로의 최댓값들이 숲의 루트와 정확히 일치함을 보여, 임계 통계량 대응 관계를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 루트가 있는 숲과 주차 함수 사이의 비재귀적 전단사 사상을 구성할 수 있는가? 이 사상은 전위수 통계량을 유지하는가?
• RQ2 Gessel과 Seo의 주차 함수에서 다행 통계량에 대한 공식에 대한 전단사적 증명이 존재하는가?
• RQ3 한 번의 전단사 사상 아래서 숲의 리더 수와 주차 함수의 다행 값 사이에 동시에 성립하는 대응 관계가 존재하는가?
• RQ4 숲에서의 전위수와 나무 수에 대한 생성함수를 주차 함수에서의 점프 수와 임계 차량 수에 대한 생성함수와 비재귀적으로 일치시킬 수 있는가?

주요 결과

• 크기 n인 루트가 있는 숲과 주차 함수 사이에 비재귀적 전단사 사상 φ: Fn → PFn 가 구성된다.
• 이 전단사 사상은 inv(F) = n+1 choose 2에서 φ(F)의 원소들의 합을 뺀 값과 같고, lead(F) = lucky(φ(F))를 만족한다.
• 숲 F의 나무 수는 대응하는 주차 함수 φ(F)의 임계 차량 수와 같다.
• 전위수, 나무 수 및 그 대응 통계량에 대한 다변수 생성함수 In(q;c)와 Jn(q;c)는 전단사 사상을 통해 등가임을 증명하였다.
• 생성함수 ∑P∈PFn u^lucky(P) c^critical(P) 가 cu ∏i=1^{n-1} (i + (n-i)u + cu) 와 같음을 전단사적 증명을 통해 보였다.
• 대응 θF 는 F의 각 정점 v를 φ(F)의 차량 c에 대응시키며, inv(F:v) = jump(φ(F):c) 를 만족함으로써 세밀한 정점-차량 대응 관계를 확립한다.