[논문 리뷰] A new class of hyper-bent Boolean functions in binomial forms

Chunming Tang, Yanfeng Qi외 3명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 01.

Coding theory and cryptography참고 문헌 19인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 $n=2m$, $m \equiv 2 \pmod{4}$, $a \in \mathbb{F}_{2^m}$, $b \in \mathbb{F}_{16}$ 조건 하에 이진형 다항식 형태 $f_{a,b} = \mathrm{Tr}_1^n(ax^{2^m-1}) + \mathrm{Tr}_1^4(bx^{(2^n-1)/5})$로 표현되는 새로운 종류의 초-비틀(Boolean) 함수를 제안한다. 클루스터만 합수와 $x^5 + x + a^{-1}$의 인수분해를 이용하여 $a \in \mathbb{F}_{2^m}$일 때 초-비틀성의 조건을 기술하고, 일반화된 라마누잔-나겔 방정식을 활용하여 이러한 함수가 초-비틀성이 성립하는 것은 $n=12$ 또는 $n=28$일 때뿐임을 보이며, 해당 경우에 대해 명시적인 구성법을 제시한다.

ABSTRACT

Bent functions, which are maximally nonlinear Boolean functions with even numbers of variables and whose Hamming distance to the set of all affine functions equals $2^{n-1}\pm 2^{\frac{n}{2}-1}$, were introduced by Rothaus in 1976 when he considered problems in combinatorics. Bent functions have been extensively studied due to their applications in cryptography, such as S-box, block cipher and stream cipher. Further, they have been applied to coding theory, spread spectrum and combinatorial design. Hyper-bent functions, as a special class of bent functions, were introduced by Youssef and Gong in 2001, which have stronger properties and rarer elements. Many research focus on the construction of bent and hyper-bent functions. In this paper, we consider functions defined over $\mathbb{F}_{2^n}$ by $f_{a,b}:=\mathrm{Tr}_{1}^{n}(ax^{(2^m-1)})+\mathrm{Tr}_{1}^{4}(bx^{\frac{2^n-1}{5}})$, where $n=2m$, $m\equiv 2\pmod 4$, $a\in \mathbb{F}_{2^m}$ and $b\in\mathbb{F}_{16}$. When $a\in \mathbb{F}_{2^m}$ and $(b+1)(b^4+b+1)=0$, with the help of Kloosterman sums and the factorization of $x^5+x+a^{-1}$, we present a characterization of hyper-bentness of $f_{a,b}$. Further, we use generalized Ramanujan-Nagell equations to characterize hyper-bent functions of $f_{a,b}$ in the case $a\in\mathbb{F}_{2^{\frac{m}{2}}}$.

연구 동기 및 목표

• 이진체 $\mathbb{F}_{2^n}$ 위에서 $n=2m$, $m \equiv 2 \pmod{4}$ 조건 하에 형태 $f_{a,b} = \mathrm{Tr}_1^n(ax^{2^m-1}) + \mathrm{Tr}_1^4(bx^{(2^n-1)/5})$를 갖는 초-비틀 Boolean 함수를 기술하는 것.
• 그들의 월쉬-하다마드 스펙트럼을 분석하여 초-비틀성이라는 가장 강력한 비선형성 성질을 만족시키는 조건을 규명하는 것.
• 클루스터만 합수와 유한체 위의 5차 다항식 인수분해와 같은 대수적 도구를 활용하여 초-비틀 함수의 기존 범주를 확장하는 것.
• 일반화된 라마누잔-나겔 방정식을 사용하여 $a \in \mathbb{F}_{2^{m/2}}$인 경우의 초-비틀성 조건을 해결하고, 초-비틀성이 발생하는 희귀한 경우를 식별하는 것.

제안 방법

• 논문은 초-비틀성 조건 $\Lambda(a,b) = 1$을 만족할 때를 중심으로 월쉬-하다마드 변환을 사용하여 $f_{a,b}$의 스펙트럼 성질을 분석한다.
• 클루스터만 합수 $K_m(a)$와 추적 함수 $\mathrm{Tr}_1^4$를 적용하여 $\Lambda(a,b) = -\frac{1}{5}[3(1 - K_m(a)) + Q_m(a)]$의 표현을 유도하고, 초-비틀성을 이들 대수적 불변량과 연결한다.
• $\mathbb{F}_{2^m}$ 위에서 다항식 $x^5 + x + a^{-1}$의 인수분해를 활용하여 $f_{a,b}$의 구조를 분류하고, 초-비틀성이 성립하는 조건을 $a$와 $b$에 대해 규명한다.
• $a \in \mathbb{F}_{2^{m/2}}$인 경우 문제는 일반화된 라마누잔-나겔 방정식 $15x^2 + 1 = 2 \cdot 2^k$ 및 $3x^2 + 5 = 4 \cdot 2^k$의 해를 구하는 것으로 환원되며, 이는 가능한 해를 제약한다.
• 논문은 계산적 검증과 수론적 분석을 통해 주어진 제약 조건 하에서 오직 $n=12$와 $n=28$일 때만 해가 존재함을 규명한다.
• 초-비틀성에 대한 $a$와 $b$에 대한 명시적 필수 및 필요조건을 유도한다: $n=12$일 때는 $(a+1)(a^3 + a^2 + 1) = 0$, $n=28$일 때는 $(a+1)(a^7 + \cdots + 1) = 0$이며, $b = \beta^i$, $i=1,2,3,4$이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 조건 $n=2m$, $m \equiv 2 \pmod{4}$, $a \in \mathbb{F}_{2^m}$, $b \in \mathbb{F}_{16}$ 하에서 Boolean 함수 $f_{a,b} = \mathrm{Tr}_1^n(ax^{2^m-1}) + \mathrm{Tr}_1^4(bx^{(2^n-1)/5})$가 초-비틀성이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 클루스터만 합수와 $x^5 + x + a^{-1}$의 인수분해가 $a \in \mathbb{F}_{2^m}$일 때 $f_{a,b}$의 초-비틀성을 어떻게 결정하는가?
• RQ3 $a \in \mathbb{F}_{2^{m/2}}$인 경우, $f_{a,b}$가 초-비틀성이 되는 $n$의 값은 무엇이며, $a$와 $b$에 대한 정확한 대수적 조건은 무엇인가?
• RQ4 일반화된 라마누잔-나겔 방정식을 사용하여 이 범주에 속하는 초-비틀 함수를 완전히 기술할 수 있는가? 만약 가능하다면, 어떤 $n$에서 해가 존재하는가?
• RQ5 이러한 이항 초-비틀 함수가 존재하는 $n$은 유한한 수뿐이며, 이를 완전히 분류할 수 있는가?

주요 결과

• 함수 $f_{a,b}$는 $\Lambda(a,b) = 1$일 때에만 초-비틀성이 성립하며, 이는 $3(1 - K_m(a)) + Q_m(a) = -5$로 간소화되며, 여기서 $K_m(a)$는 클루스터만 합수이고 $Q_m(a)$는 추적과 관련된 합수이다.
• $a \in \mathbb{F}_{2^m}$인 경우, 초-비틀성은 $x^5 + x + a^{-1}$의 인수분해와 $K_m(a)$의 값에 의해 결정되며, $K_m(a) = 4$, $-4$, 또는 $-12$일 때만 해가 존재하며, 이는 특정한 $a$-값에 해당한다.
• $a \in \mathbb{F}_{2^{m/2}}$인 경우, 함수 $f_{a,b}$는 오직 $n=12$와 $n=28$일 때에만 초-비틀성이 성립하며, 일반화된 라마누잔-나겔 방정식을 풀어 이를 입증하였다.
• $n=12$일 때, 모든 초-비틀 함수는 $\mathrm{Tr}_1^{12}(ax^{2^6-1}) + \mathrm{Tr}_1^4(bx^{(2^{12}-1)/5})$ 형태이며, $(a+1)(a^3 + a^2 + 1) = 0$ 이고 $b = \beta^i$, $i=1,2,3,4$를 만족하며, $\beta$는 $\mathbb{F}_{16}$의 원시 원소이다.
• $n=28$일 때, 모든 초-비틀 함수는 $\mathrm{Tr}_1^{28}(ax^{2^{14}-1}) + \mathrm{Tr}_1^4(bx^{(2^{28}-1)/5})$ 형태이며, $(a+1)(a^7 + \cdots + 1) = 0$ 이고 $b = \beta^i$, $i=1,2,3,4$를 만족하며, $b$ 조건은 동일하다.
• 논문은 $a \in \mathbb{F}_{2^{m/2}}$일 때 $n \neq 12, 28$인 경우 초-비틀 함수가 존재하지 않음을 증명하여 초-비틀 함수 분류 분야에서 핵심적인 열린 문제를 해결하였다.