[논문 리뷰] A new class of mild and strong solutions of integro-differential equation of arbitrary order in Banach space

J. Vanterler da C. Sousa, D. F. Gomes외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 28.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 반나절형 적분미분방정식의 임의의 차수에 대해 바나흐 공간에서 미약해와 강한해의 존재성과 유일성을 힐러 분수도수 도함수를 사용하여 증명한다. $C_0$-반군 이론, 바나흐 고정점 정리, 그리고 그로워랄의 부등식을 조합하여 저자들은 일반 조건 하에서 해의 잘 정의됨을 증명하며, 무한차원 설정에서 분수미분방정식 이론을 발전시킨다.

ABSTRACT

The motivation that the field of differential equations provide to several researchers for the challenges that have been challenging them over the decades has contributed to the strengthening of the area within mathematics. In this sense, investigating important properties of solutions of differential equations, in particular fractional, has been object of study due to the exponential growth of the fractional calculus. In this paper, we investigate the existence and uniqueness of a new class of mild and strong solution of the fractional integro-differential equations in the Hilfer fractional derivative sense in Banach space, by means of the continuously $C_{0}$-semigroup, Banach fixed point theorem and Gronwall inequality.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 공간에서 분수적분미분방정식을 해결하는 데 오랫동안 남아있던 과제를 해결하기 위해.
• 기존의 고전적 설정을 초월하여 바나흐 공간에서 임의의 차수의 방정식으로 미약해와 강한해 이론을 확장하기 위해.
• 리만-리우빌 도함수와 카프토 도함수를 일반화하는 힐러 분수도함수를 포함하는 방정식에 대해 잘 정의됨 결과를 수립하기 위해.
• 기능해석학적 도구와 고정점 방법을 사용하여 해를 분석하는 통합된 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 미분방정식과 관련된 진화 연산자를 모델링하기 위해 $C_0$-반군 이론을 적용한다.
• 적절한 함수 공간에서 해의 존재성과 유일성을 증명하기 위해 바나흐 고정점 정리를 적용한다.
• 초기 자료에 대한 해의 안정성과 연속적 의존성을 확립하기 위해 그로워랄의 부등식을 사용한다.
• 다양한 종류의 분수도함수 간의 연속적 전이를 가능하게 하는 힐러 분수도함수의 맥락에서 문제를 정식화한다.
• 반군과 비선형 항을 포함하는 적분방정식을 통해 미약해를 정의한다.
• 해가 거의 모든 점에서 방정식을 점별로 만족하고 적절한 정규성 클래스에 속하는 함수로 강한해를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건 하에서 바나흐 공간에서 임의의 차수의 분수적분미분방정식에 대해 미약해가 존재하고 유일하게 존재하는가?
• RQ2 힐러 분수도함수의 맥락에서 강한해는 어떻게 특성화되고 존재성이 어떻게 증명되는가?
• RQ3 $C_0$-반군은 이러한 방정식의 잘 정의됨을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 그로워랄의 부등식과 고정점 추론은 해의 안정성과 유일성에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 정수 또는 반정수 차수를 초월하여 임의의 차수 분수도함수를 포함하도록 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 주어진 분수적분미분방정식의 클래스에 대해 바나흐 공간에서 미약해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 동일한 일반 조건 하에서 강한해의 존재성을 확립하여 이론의 적용 가능성을 넓힌다.
• 힐러 분수도함수의 사용은 리만-리우빌 및 카프토 유형을 특수한 경우로 포함하는 더 넓은 방정식 클래스를 분석할 수 있게 한다.
• $C_0$-반군 이론과 바나흐 고정점 정리의 조합은 해 과정에서 사용되는 반복적 방법의 수렴을 보장한다.
• 그로워랄의 부등식을 적용하여 초기 자료에 대한 해의 연속적 의존성을 입증함으로써 안정성을 확인한다.
• 결과는 일반적이며 임의의 분수차수에 적용 가능하여 향후 분수진화방정식 분야의 이론적 기초를 강화한다.