[논문 리뷰] A new class of non-identifiable skew symmetric tensors

Davide Vanzo, Alessandra Bernardi|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 13.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $n < 14$ 인 경우 비열화되지 않은 Grassmannian의 비제한적 초평면의 유일한 비유일적 케이스인 $ olimits_5(Gr( olimits^2, olimits^9)) subseteq olimits( olimits^3 olimits^{10})$의 일반적인 원소가 정확히 두 가지 방식으로 분해될 수 있음을 입증한다. 이는 다섯 개의 분해 가능한 반대칭 텐서의 합으로 표현되며, 이는 $n < 14$ 인 경우 비열화되지 않은 Grassmannian의 초평면에서의 비유일성의 유일한 사례이다. 이 결과는 접촉점과 탄성 약한 열화된 다양체를 포함한 대수기하 기법을 통해 도출되었으며, 삼중 동일한 Fermion의 양자 얽힘과 물리적 해석을 가진다.

ABSTRACT

We prove that the generic element of the fifth secant variety $σ_5(Gr(\mathbb{P}^2,\mathbb{P}^9)) \subset \mathbb{P}(\bigwedge^3 \mathbb{C}^{10})$ of the Grassmannian of planes of $\mathbb{P}^9$ has exactly two decompositions as a sum of five projective classes of decomposable skew-symmetric tensors. {We show that this, {together with $Gr(\mathbb{P}^3, \mathbb{P}^8)$, is the only non-identifiable case} among the non-defective secant varieties $σ_s(Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n))$ for any $n&lt;14$. In the same range for $n$, we classify all the weakly defective and all tangentially weakly defective secant varieties of any Grassmannians.} We also show that the dual variety $(σ_3(Gr(\mathbb{P}^2,\mathbb{P}^7)))^{\vee}$ of the variety of 3-secant planes of the Grassmannian of $\mathbb{P}^2\subset \mathbb{P}^7$ is $σ_2(Gr(\mathbb{P}^2,\mathbb{P}^7))$ the variety of bi-secant lines of the same Grassmannian. The proof of this last fact has a very interesting physical interpretation in terms of measurement of the entanglement of a system of 3 identical fermions, the state of each of them belonging to a 8-th dimensional "Hilbert" space.

연구 동기 및 목표

• n < 14 인 $Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n)$의 비유일적 초평면을 분류하는 것, 특히 비열화된 케이스에 집중하는 것.
• 초평면 $\sigma_r(Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n))$의 일반적인 원소가 분해 가능한 반대칭 텐서의 합으로서 유일하거나 다수의 분해를 가지는 조건을 규명하는 것.
• 동일한 범위 내에서 Grassmannian의 약한 열화 및 탄성 약한 열화된 초평면을 특성화하는 것.
• 기하학적-물리적 이중성을 수립하기 위해 $(\sigma_3(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7)))^\vee$ 와 $\sigma_2(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7))$ 사이의 관계를 규명하며, 양자 얽힘에 대한 함의를 제시하는 것.

제안 방법

• Terracini의 보조정리를 적용하여 초평면의 차원을 계산하고 열화성을 탐지하는 데 사용.
• Macaulay2를 사용하여 접촉점과 탄성 접촉점을 계산하여 유일성과 약한 열화성 분석.
• r차 초평면 차수를 사용하여 $\sigma_r(Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n))$ 내 일반 텐서의 분해 수를 측정.
• r-탄성 접촉점의 차원이 양수임을 통해 비유일적 케이스를 식별.
• $SL(8)$ 작용 하에서 $\mathbb{P}(\bigwedge^3 \mathbb{C}^8)$ 내 궤도 닫힘의 기하학적 분석을 통해 양자 얽힘 계급과 연결.
• Plücker 매bedding을 사용하여 Grassmannian을 사영 공간의 부분다양체로 표현함으로써 초평면의 연구를 가능하게 함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n < 14 인 $Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n)$의 비열화된 초평면 중에서 비유일적인 것이 존재하는가?
• RQ2 Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^9)의 5차 탄성 접촉점의 차원은 얼마이며, 이는 유일성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 $\sigma_5(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^9))$가 $n < 14$ 인 경우 비열화된 초평면에서 비유일성의 유일한 사례인 이유는 무엇인가?
• RQ4 $(\sigma_3(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7)))^\vee$ 와 $\sigma_2(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7))$ 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 $\mathbb{P}(\bigwedge^3 \mathbb{C}^8)$ 내 궤도 닫힘의 포함 다이어그램은 삼중 동일한 Fermion의 얽힘 측면에서 어떤 물리적 해석을 갖는가?

주요 결과

• $\sigma_5(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^9))$의 일반적인 원소는 정확히 두 가지 방식으로 다섯 개의 분해 가능한 반대칭 텐서의 합으로 표현되며, 이는 비유일성을 의미한다.
• 이것은 $n < 14$ 인 경우 비열화된 초평면 $\sigma_r(Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n))$ 중에서 비유일성의 유일한 사례이며, $\sigma_3(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7))$를 제외한 모든 경우에 해당한다.
• Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^9)의 5차 탄성 접촉점의 차원은 1이며, 이는 비유일성의 확인을 뒷받침한다.
• $(\sigma_3(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7)))^\vee$ 는 $\sigma_2(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7))$ 와 동일하며, 기하학적 이중성을 수립한다.
• Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7)의 3차 탄성 접촉점은 세 개의 $\mathbb{P}^3$과 한 개의 $\mathbb{P}^5$의 합집합이며, 이는 탄성 약한 열화된 다양체임을 나타낸다.
• 물리적 해석은 $\mathbb{P}(\bigwedge^3 \mathbb{C}^8)$ 내 궤도 닫힘의 계층적 구조가 삼중 동일한 Fermion의 얽힘 계급과 연결되며, 다이어그램의 높은 수준일수록 더 높은 얽힘을 의미한다.