[논문 리뷰] A new class of Pseudo-Hermitian Hamiltonians with real spectra

Abouzeid M. Shalaby|arXiv (Cornell University)|2008. 04. 12.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 속도에 의존하는 포텐셜을 갖는 새로운 비헤르미트형 하미르토니안의 클래스를 제안하며, 실수이고 아래에서 유계인 스펙트럼을 가지며 스펙트럼 안정성을 보장한다. 초전하와 초파트너를 통해 초대칭 대수적 구조를 수립하여, 이 클래스에 속하는 비-PT 대칭 하미르토니안이 캐논ical 변환을 통해 초파트너로 매핑될 수 있음을 밝혀내며, 이는 초대칭 위반을 시사한다. 반면 PT 대칭 하미르토니안은 같은 매핑이 실패하므로, PT 대칭과 초대칭의 새로운 상호작용이 드러나며, 이는 비-PT 대칭 시스템에서의 초대칭 위반을 설명한다.

ABSTRACT

We introduce and study a class of non-Hermitian Hamiltonians which have velocity dependent potentials. Since stability can not be advocated directly from the classical potential, we show that the energy spectra are real and bounded from below which proves the stability of the spectra of all members in the class. We find that the introduced class of non-Hermitian Hamiltonians do have a corresponding superpartner class of non-Hermitian Hamiltonians. We were able to introduce supercharges which in conjunction with the corresponding super Hamiltonians constitute a closed super algebra. Among the introduced Hamiltonians, we show that non-$\mathcal{PT }$-symmetric Hamiltonians can be transformed into their corresponding superpartner Hamiltonians via a specific canonical transformation while the $\mathcal{PT }$-symmetric ones failed to be mapped to their corresponding superpartner Hamiltonians via the same canonical transformation. Since canonical transformations preserve the spectrum, we conclude that non-$\mathcal{PT }$-symmetric Hamiltonians out of the introduced class of Hamiltonians have the same spectrum as the corresponding superpartner Hamiltonians and thus Susy is broken for such Hamiltonians. This kind of intertwining of $\mathcal{PT }$-symmetry and Supersymmetry is new as all the so far discussed cases concentrate on Hamiltonians of broken $\mathcal{PT }% $-symmetry that have broken Supersymmetry too while we showed that Susy can be also broken for non-$\mathcal{PT }$-symmetric and non-Hermitian Hamiltonians .

연구 동기 및 목표

• 속도에 의존하는 포텐셜을 갖는 비헤르미트형 하미르토니안의 새로운 클래스를 특정하고, 실수 에너지 스펙트럼을 유지하는지 분석한다.
• 비헤르미트 시스템에서 초대칭이 유지되거나 위반되는 조건을 조사한다.
• 캐논ical 변환의 역할을 하미르토니안과 그 초파트너 간의 관계에서 분석하며, 특히 PT 대칭과 비-PT 대칭 사례를 구분한다.
• 비헤르미트 양자 시스템에서 PT 대칭과 초대칭 간의 상호작용을 명확히 하며, 특히 PT 대칭이 초대칭 위반을 암시하지 않는 경우를 다룬다.

제안 방법

• 저자들은 스펙트럼 분석을 통해 실수 스펙트럼과 아래에서 유계인 스펙트럼을 보장하는 비헤르미트형 하미르토니안의 클래스를 구성한다.
• 초전하를 정의하여 하미르토니안과 함께 닫힌 초대칭 대수적 구조를 수립함으로써 시스템의 초대칭적 구조를 확립한다.
• 비-PT 대칭 하미르토니안을 그 초파트너 하미르토니안으로 매핑하기 위해 캐논ical 변환을 적용하며, 스펙트럼을 유지한다.
• 동일한 캐논ical 변환은 PT 대칭 하미르토니안을 그 초파트너로 매핑하지 못하며, 이는 그들의 행동에서 구조적 차이를 시사한다.
• 에너지 스펙트럼이 아래에서 유계임을 증명함으로써 스펙트럼 안정성을 확인하여 물리적 일관성을 확보한다.
• 동일한 변환을 통해 PT 대칭과 비-PT 대칭 하미르토니안의 행동을 비교함으로써 대칭의 역할이 초대칭 위반에 어떻게 기여하는지 분리 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비-PT 대칭을 갖는 속도에 의존하는 포텐셜을 가진 비헤르미트형 하미르토니안은 PT 대칭이 없음에도 불구하고 실수이고 아래에서 유계인 에너지 스펙트럼을 가질 수 있는가?
• RQ2 캐논ical 변환이 비헤르미트 시스템에서 초대칭 위반과 어떤 관련이 있는가?
• RQ3 왜 PT 대칭 하미르토니안은 비-PT 대칭 하미르토니안에 대해 작동하는 동일한 캐논ical 변환을 통해 초파트너로 매핑되지 않는가?
• RQ4 비헤르미트 양자 시스템에서 PT 대칭과 초대칭 간의 관계는 어떠한가?
• RQ5 비-PT 대칭 비헤르미트 하미르토니안에서 초대칭이 위반될 수 있으며, 이는 일반적인 스펙트럼 안정성 이해에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 제안된 비헤르미트형 하미르토니안의 클래스는 실수이고 아래에서 유계인 에너지 스펙트럼을 가지며, PT 대칭이 없음에도 불구하고 스펙트럼 안정성을 확인한다.
• 초전하와 하미르토니안을 사용하여 닫힌 초대칭 대수적 구조를 수립하여 시스템의 일관된 초대칭적 구조를 입증한다.
• 이 클래스에 속하는 비-PT 대칭 하미르토니안은 캐논ical 변환을 통해 초파트너로 매핑되며, 스펙트럼이 유지된다.
• 동일한 캐논ical 변환은 PT 대칭 하미르토니안을 초파트너로 매핑하지 못하며, 이는 그들의 대수적 구조에서 근본적인 차이를 시사한다.
• 비-PT 대칭 하미르토니안에서는 캐논ical 변환이 초파트너로 연결하지 못하므로 초대칭이 위반되며, 스펙트럼 등가성에도 불구하고 그렇다.
• 본 연구는 PT 대칭과 초대칭 간의 새로운 상호작용을 드러내며, PT 대칭이 없음에도 불구하고 초대칭 위반이 발생할 수 있음을 보여준다.