[논문 리뷰] A new complexity function, repetitions in Sturmian words, and irrationality exponents of Sturmian numbers

Yann Bugeaud, Dong Han Kim|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 01.

semigroups and automata theory참고 문헌 40인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 무한어 x에서 길이 n인 어떤 인자의 두 번째 등장이 포함된 최소 접두사 길이를 측정하는 새로운 복잡도 함수 r(n, x)를 제안한다. 이 함수를 통해 최종적으로 주기적이고 슈투르미안 어를 특성화하며, 슈투르미안 어 s에 대해 liminf r(n,s)/n ≤ √10 − 1.5임을 증명하고, 이 상한이 날카로운 것임을 보인다. 이 결과는 슈투르미안 수의 무리수 지수에 대해 최적의 하한을 도출하며, 이를 응용하여 a ≥ 34일 때 log(1 + 1/a)의 b-진 전개가 슈투르미안이 아님을 보인다.

ABSTRACT

We introduce and study a new complexity function in combinatorics on words, which takes into account the smallest second occurrence time of a factor of an infinite word. We characterize the eventually periodic words and the Sturmian words by means of this function. Then, we establish a new result on repetitions in Sturmian words and show that it is best possible. Let $b \\ge 2$ be an integer. We deduce a lower bound for the irrationality exponent of real numbers whose sequence of $b$-ary digits is a Sturmian sequence over $\\{0,1,\\ldots, b-1\\}$ and we prove that this lower bound is best possible. As an application, we derive some information on the $b$-ary expansion of $\\log(1+\\frac{1}{a})$,for any integer $a \\ge 34$.

연구 동기 및 목표

• 길이 n인 어떤 인자의 두 번째 등장이 포함된 최소 접두사 길이를 캡처하는 새로운 복잡도 함수 r(n,x)를 정의하고 분석하는 것.
• r(n,x)의 渐近적 행동을 이용하여 최종적으로 주기적 어와 슈투르미안 어를 특성화하는 것.
• 슈투르미안 어 s에 대해 liminf r(n,s)/n의 날카로운 상한을 확립하고, 이것이 최적임을 증명하는 것.
• 이 상한을 이용하여 슈투르미안 수의 무리수 지수에 대해 최적의 하한을 도출하는 것.
• 결과를 응용하여 log(1 + 1/a)의 b-진 전개가 정수 a ≥ 34일 때 슈투르미안이 아님을 보이는 것.

제안 방법

• r(n,x)를 길이 m인 x의 접두사가 어떤 길이 n의 인자를 두 번 이상 포함하는 최소 길이 m로 정의한다.
• 슈투르미안 어의 조합적 성질을 이용하여 반복 인자의 구조를 분석하고 r(n,x)에 대한 상한을 유도한다.
• 모든 슈투르미안 어 s에 대해 liminf r(n,s)/n ≤ √10 − 1.5임을 증명하고, 등호가 성립하는 특정 슈투르미안 어를 구성한다.
• r(n,x)를 디오판틴 대수 approximation과 연결하여, b-진 전개가 슈투르미안인 실수의 무리수 지수와 r(n,x)의 성장률 간의 관계를 규명한다.
• r(n,x)에 대한 상한을 이용하여 슈투르미안 수의 무리수 지수에 대해 5/3 + 4√10/15의 하한을 도출한다.
• 결과를 log(1 + 1/a)에 적용하여, a ≥ 34일 때 b-진 전개가 슈투르미안이 될 수 없음을 모순에 의해 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 슈투르미안 어에 대해 함수 r(n,x)의 渐진적 행동은 어떠한가? 그리고 모든 슈투르미안 어에 대해 균일하게 상한을 부여할 수 있는가?
• RQ2 슈투르미안 어 s에 대해 liminf r(n,s)/n ≤ √10 − 1.5라는 상한이 날카로운가? 등호는 달성 가능한가?
• RQ3 r(n,x)의 성장률은 b-진 전개가 슈투르미안인 실수의 무리수 지수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 새로운 복잡도 함수 r(n,x)를 이용하여 슈투르미안 수의 무리수 지수에 대해 최적의 하한을 도출할 수 있는가?
• RQ5 충분히 큰 정수 a에 대해 log(1 + 1/a)의 b-진 전개가 슈투르미안이 아님을 보일 수 있으며, 그 이유는 무엇인가?

주요 결과

• 함수 r(n,x)는 최종적으로 주기적 어를 특성화한다: r(n,x)가 유계이면 x는 최종적으로 주기적이다.
• 슈투르미안 어 s에 대해 liminf r(n,s)/n ≤ √10 − 1.5라는 부등식이 성립하며, 이 상한은 최적이다. 특정 슈투르미안 어에서 등호가 성립한다.
• 모든 슈투르미안 수의 무리수 지수는 최소 5/3 + 4√10/15이며, 이 하한은 최적이다.
• 정수 a ≥ 34일 때 log(1 + 1/a)의 b-진 전개는 슈투르미안이 아니며, 이는 도출된 무리수 지수 상한과의 모순 때문이다.
• 함수 r(n,x)는 전통적인 부분어 복잡도 p(n,x)보다 디오판틴 대수 approximation과 더 강한 연결을 가지며, 초월성 기준에서 p(n,x)를 대체할 수 있다.