[논문 리뷰] A new definition of Kuranishi space

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 24.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 50인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 심플렉틱 기하학에서 사용되는 Kuranishi 공간의 새로운 엄밀한 정의를 제안한다. 이 정의는 유한한 이소트로피 군을 가진 오르비폭(orbifold-like) 기하 객체의 약한 2-category로, 이전의 개념들을 바탕으로 한다. 논문은 세 수준의 계층—µ-Kuranishi 공간(일반적인 범주), m-Kuranishi 공간(약한 2-category), 완전 Kuranishi 공간(약한 2-category)—을 도입하며, 정확한 범주적 동치와 임bedding을 제공함으로써 Gromov–Witten 이론 및 관련 불변량에서 가상 기본류를 정의하는 데 오랫동안 지속된 기초적 문제를 해결한다.

ABSTRACT

'Kuranishi spaces' were introduced in the work of Fukaya, Oh, Ohta and Ono in symplectic geometry (see e.g. arXiv:1106.4882), as the geometric structure on moduli spaces of $J$-holomorphic curves. An alternative to Kuranishi spaces is the 'polyfolds' of Hofer, Wysocki and Zehnder (see e.g. arXiv:1407.3185). Finding a satisfactory definition of Kuranishi space has been the subject of recent debate (see e.g. arXiv:1208.1340, arXiv:1209.4410, arXiv:1510.06849). We propose three new definitions of Kuranishi space: a simple 'manifold' version, '$μ$-Kuranishi spaces', which form an ordinary category $\boldsymbolμ\bf Kur$; a more complicated 'manifold' version, 'm-Kuranishi spaces', which form a weak 2-category $\bf mKur$; and an 'orbifold' version, 'Kuranishi spaces', which form a weak 2-category $\bf Kur$. These are related by an equivalence of categories $\boldsymbolμ{\bf Kur}\simeq{ m Ho}({\bf mKur})$, where ${ m Ho}({\bf mKur})$ is the homotopy category of $\bf mKur$, and by a full and faithful embedding ${\bf mKur}\hookrightarrow\bf Kur$. We also define ($μ$-, m-)Kuranishi spaces with boundary, and with corners. We hope our definitions will become accepted as final, replacing previous definitions. Any Fukaya-Oh-Ohta-Ono Kuranishi space $\bf X$ can be made into a compact Kuranishi space $\bf X'$ uniquely up to equivalence in $\bf Kur$ (that is, up to isomorphism in ${ m Ho}({\bf Kur})$). The same holds for topological spaces with Fukaya-Oh-Ohta-Ono 'good coordinate systems', and for McDuff and Wehrheim's 'Kuranishi atlases' in arXiv:1508.01556. A compact topological space $\bf X$ with a 'polyfold Fredholm structure' in the sense of Hofer, Wysocki and Zehnder can be made into a Kuranishi space $\bf X$ uniquely up to equivalence in $\bf Kur$. This book is surveyed in arXiv:1510.07444.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 기하학에서 사용되는 Kuranishi 공간의 정의에 오랫동안 지속된 애매함과 범주론적 엄밀성의 부족을 해결하기 위해.
• 함수적 성질, 접합, 장애 이론을 지원하는 수학적으로 정밀한 Kuranishi 구조의 프레임워크를 제공하기 위해.
• Fukaya–Oh–Ohta–Ono, McDuff–Wehrheim, Yang 등의 이전 정의들을 통합하고 일반화하여 일관된 범주적 계층으로 만들기 위해.
• Gromov–Witten 불변량과 Floer 코homology에 필수적인 J-홀로모르픽 곡선의 모듈리 공간에 대한 공식적인 범주론적 기초를 마련하기 위해.
• 경계, 모서리, 일반화된 모서리를 포함하도록 이론을 확장하여 더 일반적인 기하 및 위상 기하 설정에의 적용을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 세 수준의 Kuranishi 구조를 도입: µ-Kuranishi 공간(다양체 유사, 자명한 이소트로피, 일반적인 범주), m-Kuranishi 공간(다양체 유사, 자명한 이소트로피, 약한 2-category), Kuranishi 공간(오르비폭 유사, 유한한 이소트로피, 약한 2-category).
• 차트(V_i, E_i, s_i, ψ_i)를 갖는 Kuranishi 이웃을 정의하되, 여기서 V_i는 다양체, E_i는 벡터 번들의, s_i는 매끄러운 단면, ψ_i는 모듈리 공간의 부분집합으로의 호메오멀피즘이다.
• 좌표 변경을 이웃 간의 등가 관계의 꼬리로 형식화하고, 복합 및 제한에 대한 일致성을 보장하는 조건을 설정한다.
• 약한 2-category의 구조를 사용하여 동형과 고차 대칭을 모델링하며, 1-준위 사상은 좌표 변경을, 2-동치는 이러한 변경의 동치를 나타낸다.
• 범주적 동치를 설정: µKur ≃ Ho(mKur), 그리고 전사적이고 충실한 임베딩 mKur ↪ Kur를 통해 계층이 일관되며, 완전 Kuranishi 공간이 자연스러운 대상임을 보여준다.
• b-접선 번들의 및 일반화된 모서리를 사용하여 경계와 모서리가 있는 다양체로 프레임워크를 확장하고, 장애 이론을 위한 (b-)접선 및 (b-)장애 공간을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kuranishi 공간은 어떤 방식으로 정의되어야 하며, 이는 잘 정의된 사상 범주와 함자적 구성이 가능하게 하는가?
• RQ2 Kuranishi 공간의 기하적·위상적 행동을 정확히 반영하는 올바른 범주적 구조(일반적인 범주, 약한 2-category 등)는 무엇인가?
• RQ3 이전의 정의들—예를 들어 Fukaya–Oh–Ohta–Ono의 Kuranishi 구조, 양호한 좌표계, McDuff–Wehrheim의 아틀라스—는 새로운 프레임워크와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 이론은 경계와 모서리가 있는 다양체로 확장될 수 있으며, 이러한 경우 접선 및 장애 공간은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 세 수준의 Kuranishi 구조—µ-Kuranishi, m-Kuranishi, 완전 Kuranishi 공간—간의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 일관된 Kuranishi 구조의 계층을 확립한다: µKur ≃ Ho(mKur), 이는 m-Kuranishi 공간의 호모토피 범주가 더 단순한 µ-Kuranishi 범주를 복원함을 보여준다.
• 전사적이고 충실한 임베딩 mKur ↪ Kur가 존재하여, m-Kuranishi 공간이 Kuranishi 공간의 전사적 부분-2범주임을 의미하며, 모든 사상과 2-동치를 유지한다.
• 이전의 모든 Kuranishi 공간 정의—Fukaya–Oh–Ohta–Ono의 구조, 양호한 좌표계, McDuff–Wehrheim의 아틀라스, Yang의 Kuranishi 구조—는 동치를 제외하고 유일하게 새로운 프레임워크에 포함될 수 있다.
• b-접선 번들과 일반화된 모서리를 사용하여 경계와 모서리가 있는 다양체로 이론을 확장하였으며, (b-)접선 및 (b-)장애 공간의 정의가 일관되게 유지된다.
• 완전 Kuranishi 공간이 d-orbifold의 엄격한 2범주와 동치인 약한 2범주임을 보여주어, 가상 기본류에 대한 강력한 범주론적 기초를 확보한다.
• 정의된 접선 및 장애 공간을 통해 장애 이론과 가상 사이클을 지원하는 프레임워크가 되었으며, 이는 Gromov–Witten 이론과 라그랑주 Floer 코homology에 필수적이다.