[논문 리뷰] A new derivation of the gravitational self-force

Adam Pound|arXiv (Cornell University)|2009. 07. 29.

Pulsars and Gravitational Waves Research인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론에서 중력 자기력을 유도하기 위한 새로운 渐近적 방법을 제시한다. 고정된 몸체 크기의 내부 전개와 고정된 세계선을 갖는 축소되는 몸체의 외부 전개를 조합하여, 로렌츠 게이지로 전역 메트릭 해를 尾적 적분을 통해 표현한다. 이 방법은 장시간에 걸쳐 유효한 자기일관된 운동 방정식을 도출하며, 세계선 상의 기저가 되는 메트릭 편미분의 비가역 성분들로 표현된 자기력을 제공한다.

ABSTRACT

I review the problem of motion for small bodies in General Relativity, with an emphasis on developing a self-consistent treatment of the gravitational self-force. An analysis of the various derivations extant in the literature leads me to formulate an asymptotic expansion in which the metric is expanded while a representative worldline is held fixed; I discuss the utility of this expansion for both exact point particles and asymptotically small bodies, contrasting it with a regular expansion in which both the metric and the worldline are expanded. Based on these preliminary analyses, I present a general method of deriving self-consistent equations of motion for arbitrarily structured (sufficiently compact) small bodies. My method utilizes two expansions: an inner expansion that keeps the size of the body fixed, and an outer expansion that lets the body shrink while holding its worldline fixed. By imposing the Lorenz gauge, I express the global solution to the Einstein equation in the outer expansion in terms of an integral over a worldtube of small radius surrounding the body. Appropriate boundary data on the tube are determined from a local-in-space expansion in a buffer region where both the inner and outer expansions are valid. This buffer-region expansion also results in an expression for the self-force in terms of irreducible pieces of the metric perturbation on the worldline. Based on the global solution, these pieces of the perturbation can be written in terms of a tail integral over the body's past history. This approach can be applied at any order to obtain a self-consistent approximation that is valid on long timescales, both near and far from the small body. I conclude by discussing possible extensions of my method and comparing it to alternative approaches.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론에서 소형 천체에 대한 자기일관된 중력 자기력 처리 방법을 개발하기 위해.
• 기존 유도 과정에서의 모순을 해결하기 위해 메트릭과 세계선 전개를 구분함으로써.
• 장시간에 걸쳐 소형 천체 주변의 근처와 먼 곳 모두에서 유효한 프레임워크를 제공하기 위해.
• 자기력을 세계선 상의 메트릭 편미분의 비가역 성분들로 표현하기 위해.
• 계단식 점근 전개를 통해 고차수 근사로의 확장이 가능하도록 하기 위해.

제안 방법

• 메트릭은 전개되지만 세계선은 고정된 상태에서 점근 전개를 수립함으로써, 메트릭과 세계선 둘 다를 변화시키는 일반 전개와 대비함.
• 이중 척도 전개를 사용: 몸체 크기를 고정하는 내부 전개와 몸체를 축소시키면서 세계선만 고정하는 외부 전개.
• 전역 해를 세계선을 둘러싼 작은 반경의 월드튜브를 통해 적분 형태로 표현하기 위해 로렌츠 게이지를 도입함.
• 내부 및 외부 전개가 모두 유효한 버퍼 영역을 통해 월드튜브 상의 경계 조건을 결정함.
• 버퍼 영역에서 국소적인 공간 전개를 통해 자기력을 도출하고, 세계선 상의 메트릭 편미분을 비가역 성분들로 분해함.
• 전역 해를 사용하여 세계선의 과거 역사를 통한 尾적 적분 형태로 자기력을 표현함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 상대성 이론에서 임의의 구조를 가진 충분히 압축된 소형 천체에 대해, 장시간에 걸쳐 유효한 자기일관 방정식 운동을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 메트릭은 전개되지만 세계선은 고정된 상태에서 점근 전개를 수행할 때 세계선의 역할은 무엇인가?
• RQ3 자기력을 어떻게 세계선 상의 메트릭 편미분의 비가역 성분들로 체계적으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 로렌츠 게이지와 월드튜브 적분을 사용하여 아인슈타인 방정식의 전역 해를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 버퍼 영역 전개와 자기력의 尾적 적분 표현 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 이 방법은 장시간에 걸쳐 소형 천체 주변의 근처와 먼 곳 모두에서 유효한 자기일관된 중력 자기력 도출을 가능하게 한다.
• 자기력은 외부 전개에서의 전역 해로부터 도출된 세계선의 과거 역사를 통한 尾적 적분 형태로 표현된다.
• 비가역 성분들은 버퍼 영역 전개를 통해 세계선 상의 메트릭 편미분이 결정되며, 이는 내부 및 외부 해의 일관성을 보장한다.
• 로렌츠 게이지의 사용은 소형 월드튜브 상의 데이터를 통해 전역 메트릭 해의 잘 정의된 적분 표현을 가능하게 한다.
• 이 방법은 임의의 근사 차수로 체계적으로 확장 가능하여, 소형 천체 운동의 고정밀 모델링이 가능하다.
• 이 방법은 메트릭 전개와 세계선 전개를 구분함으로써, 이전의 일반 전개 접근 방식에서 발생하던 애매함을 해결한다.