[논문 리뷰] A New Efficient Asymmetric Cryptosystem Based on the Square Root Problem

Muhammad Rezal Kamel Ariffin, Muhammad Asyraf Asbullah외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 05.

Coding theory and cryptography참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 제곱근 모듈로 문제에 기반한 새로운 비대칭 암호체계인 $AA_{\beta}$-암호체계를 제안한다. 이는 라빈 암호체계의 4대1 복호화 모호성을 해결하며, $e_{A1} = p^2q$ 및 $e_{A2} = pq^2$를 사용하는 새로운 키 구조를 도입함으로써 $O(n^2)$ 복잡도로 유일한 복호화를 가능하게 한다. 이는 RSA, ECC, 엘가말보다 빠른 속도를 제공하며, 블록당 최대 4n비트의 더 큰 데이터 전송을 지원하고, 저전력 장치에 적합한 간단하고 효율적인 수학적 구조를 제공한다.

ABSTRACT

The square root modulo problem is a known primitive in designing an asymmetric cryptosystem. It was first attempted by Rabin. Decryption failure of the Rabin cryptosystem caused by the 4-to-1 decryption output is overcome efficiently in this work. The proposed scheme (known as the AA_β- cryptosystem) has its encryption speed having a complexity order faster than the Diffie-Hellman Key Exchange, El-Gammal, RSA and ECC. It can also transmit a larger data set securely when compared to existing asymmetric schemes. It has a simple mathematical structure. Thus, it would have low computational requirements and would enable communication devices with low computing power to deploy secure communication procedures efficiently.

연구 동기 및 목표

• 라빈 암호체계의 4대1 복호화 실패 문제를 해결함으로써, 효율성은 높지만 실용적 도입이 저해된 문제를 해결하고자 한다.
• RSA, ECC, 엘가말을 능가하는 속도를 확보하기 위해, 암호화 및 복호화 복잡도가 $O(n^2)$인 암호체계를 설계하고자 한다.
• 계산 오버헤드를 증가시키지 않고도 더 큰 데이터 블록(최대 4n비트)을 안전하게 전송할 수 있도록 하고자 한다.
• 정수 인수분해, 복합수 모듈로 제곱근, 알려지지 않은 인수분해를 가진 모듈로 감소 문제 등 다수의 어려운 문제를 통해 보안을 확보하고자 한다.
• 강력한 보안을 유지하면서도 저성능 컴퓨팅 장치에 적합한 단순한 수학적 구조를 제공하고자 한다.

제안 방법

• 암호체계는 $p$와 $q$가 큰 소수일 때, $e_{A1} = p^2q$ 및 $e_{A2} = pq^2$로 정의되는 두 개의 공개 키를 사용하여 암호화 식 $C \equiv U e_{A1} + V^2 e_{A2} \pmod{N}$을 정의한다.
• 암호화는 나눗셈이나 큰 모듈로 거듭제곱과 같은 고비용 연산을 피하기 위해 기본적인 곱셈과 모듈로 덧셈만을 포함한다.
• 복호화는 비밀 키 $(p,q)$를 사용하여 $e_{A1}$ 모듈로에서 제곱근을 계산하고 $U$를 $e_{A2}$ 모듈로에서 감소시켜, 합동식 시스템을 통해 유일한 평문을 확보한다.
• 이 시스템은 중국인의 나머지 정리와 이차 잔여물의 성질을 활용하여, 라빈 체계의 네 루트 모호성을 해결한다.
• 보안은 $e_{A1} = p^2q$의 인수분해를 알지 못한 채 $V^2 \equiv \alpha \pmod{e_{A1}}$를 해결하는 것이 불가능하다는 데에 기반한다. 또한 $e_{A2}$ 모듈로에서 감소하기 이전에 $U$를 계산하는 것이 중요하다.
• 이 체계는 $\gcd(e_{A1}, e_{A2}) = 1$이 되도록 설계되어 있어, 합동식 시스템이 평문을 유일하게 결정함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라빈 암호체계의 4대1 복호화 모호성 문제를 그 효율성을 유지하면서 해결할 수 있는가?
• RQ2 암호화 및 복호화 복잡도가 $O(n^2)$인 비대칭 암호체계를 설계하여 더 큰 데이터 블록을 지원할 수 있는가?
• RQ3 제곱근 모듈로 문제를 새로운 암호체계의 보안 원천으로 사용할 수 있으며, 코퍼스미스 공격이나 격자 기반 공격과 같은 알려진 공격을 피할 수 있는가?
• RQ4 제안된 $AA_{\beta}$-암호체계는 속도와 블록 크기 측면에서 RSA, ECC, NTRU보다 우수한 성능과 데이터 처리 능력을 갖추고 있는가?
• RQ5 이 체계는 제한된 컴퓨팅 능력을 가진 장치에 쉽게 구현할 수 있는 단순한 수학적 구조로 구성될 수 있는가?

주요 결과

• $AA_{\beta}$-암호체계는 암호화 및 복호화 모두 $O(n^2)$ 복잡도를 달성하여, RSA, ECC, 엘가말의 $O(n^3)$ 복잡도를 능가한다.
• 이 체계는 블록당 최대 4n비트의 평문 전송을 지원하여, 일반적으로 RSA나 ECC에서 사용하는 블록 크기보다 크게 증가시킨다.
• 암호문 확장 비율은 $1:1.75$로, 큰 블록에서 RSA의 $1:1$보다 유리하여 대용량 데이터 전송에서 더 높은 효율성을 보인다.
• 이 시스템은 $e_{A1} = p^2q$ 및 $e_{A2} = pq^2$ 기반의 키 구조를 통해 네 개의 가능한 루트 중에서 유일한 평문을 복구함으로써 복호화의 유일성을 보장한다.
• 이 체계는 $e_{A1}$의 인수분해를 알지 못한 채 $V$를 계산하여 $V^2 \equiv \alpha \pmod{e_{A1}}$를 만족시키는 것이 불가능하므로, 코퍼스미스 유형 공격과 격자 기반 공격에 대해 안전하다.
• 합동식 $C \equiv V^2 \pmod{e_{A1}}$를 해결하는 것과 $e_{A1}$의 인수분해 문제를 해결하는 것이 동치임을 증명하여, 이 체계를 해독하는 것은 정수 인수분해 문제를 해결하는 것과 동일하다는 것을 입증한다.