[논문 리뷰] A new family of MRD-codes

Bence Csajbók, Giuseppe Marino외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 26.

Coding theory and cryptography인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 N_{q^{2n}/q^n}(b) ≠ 1 이고 gcd(s,n) = 1 인 조건을 만족하는 b ∈ Fq^{2n}에 대해 정의된 Ub,s = {(x, bx^{qs} + x^{q^{s+n}}) : x ∈ Fq^{2n}} 를 통해 Fq^{2n} × Fq^{2n} 내에서 Fq-선형 최대 산산(subspace)을 갖는 새로운 가족을 제안한다. 이러한 부분공간들은 q > 2 인 경우 (6,6,q;5) 및 홀수 q인 경우 (8,8,q;7) 매개변수를 갖는 새로운 비동치 MRD-코드를 유도하며, 기존의 Gabidulin 및 Sheekey 유형의 구성 이외의 알려진 MRD-코드 가족을 확장한다.

ABSTRACT

We introduce a family of linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^{2n})$ arising from maximum scattered linear sets of pseudoregulus type of $\mathrm{PG}(3,q^{n})$. For $n=3,4$ and for certain values of the parameters we show that these linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^{2n})$ are maximum scattered and they yield new MRD-codes with parameters $(6,6,q;5)$ for $q>2$ and with parameters $(8,8,q;7)$ for $q$ odd.

연구 동기 및 목표

• 특정 q에 대해 매개변수 (6,6,q;5) 및 (8,8,q;7)를 갖는 새로운 Fq-선형 MRD-코드 가족을 구성하는 것.
• 새로운 선형 집합이 최대 산산이며 이전에 알려진 MRD-코드 구성과 동치가 아니라는 것을 보여주는 것.
• PG(3,q^n) 내의 가짜레귤러스 유형 선형 집합을 사용하여 Fq^{2n} × Fq^{2n} 내 최대 산산 Fq-부분공간의 구성 방법을 일반화하는 것.
• m=6 및 m=8에 대해 각각 q ≥ 3 및 홀수 q인 명시적 무한 가족을 제공하는 것.

제안 방법

• b ∈ Fq^{2n} 이며 N_{q^{2n}/q^n}(b) ≠ 1 이고 1 ≤ s ≤ 2n−1, gcd(s,n)=1 인 조건에서 Fq-부분공간 Ub,s = {(x, bx^{qs} + x^{q^{s+n}}) : x ∈ Fq^{2n}} 를 정의한다.
• 관련 행렬의 질량과 차원을 이용한 분석을 통해 선형 집합 L_{Ub,s} 내의 각 점이 최대 2의 무게를 가짐을 증명한다.
• 선형 사상의 행렬 표현에서 6×6 부분행렬의 행렬식을 사용하여, 무게가 3 초과일 수 있는 유일한 점이 ⟨(1,0)⟩ 뿐이며, N_{q^{2n}/q^n}(b) ≠ 1 이면 이 점이 제외됨을 보여준다.
• m=6 및 m=8의 경우, b² = −1 일 때 부분공간 Ub,1 이 최대 산산임을 증명하기 위해 정리 7.2의 행렬식 표현이 0이 되지 않음을 확인한다.
• 유한체 확장에서의 추적 및 노름 함수를 사용하여 핵심 표현의 0이 되는 것을 분석하고 산산이 아닐 경우를 배제한다.
• GAP와 같은 계산 도구를 사용하여 작은 q에 대해 산산성을 검증하고, 최대 산산 부분공간을 유도하는 서로 다른 노름 값의 수에 대한 추측을 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 Gabidulin 및 Sheekey 유형 외에 Fq^{2n} × Fq^{2n} 내에서 최대 산산 Fq-부분공간의 새로운 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 새로운 부분공간에서 유도된 MRD-코드는 동일한 매개변수를 갖는 이전에 알려진 MRD-코드와 동치가 아닌가?
• RQ3 b ∈ Fq^{2n} 에 대해 어떤 조건이 부분공간 Ub,s = {(x, bx^{qs} + x^{q^{s+n}}) : x ∈ Fq^{2n}} 가 최대 산산이 되게 하는가?
• RQ4 고정된 m=2n에 대해 N_{q^{2n}/q^n}(b) ≠ 1 인 다양한 b에 대해 Ub,s 가 유도하는 비동치 최대 산산 부분공간의 수는 얼마인가?
• RQ5 이러한 구성은 방향 집합 및 Rédei 유형 블로킹 세트의 이론적 최대 크기에 도달하는 새로운 함수 및 블로킹 세트의 예를 제공하는가?

주요 결과

• m=6 및 q>2 인 경우, b² = −1 인 부분공간 Ub,1 은 Fq^6 × Fq^6 내에서 최대 산산 Fq-부분공간을 이룬다. 이는 매개변수 (6,6,q;5)를 갖는 새로운 MRD-코드를 이끈다.
• m=8 및 홀수 q인 경우, b² = −1 인 부분공간 Ub,1 은 Fq^8 × Fq^8 내에서 최대 산산이다. 이는 매개변수 (8,8,q;7)를 갖는 새로운 MRD-코드를 이끈다.
• m>4 이고 N_{q^{2n}/q^n}(b) ≠ 1 이면 구성된 선형 집합 L_{Ub,s} 는 최대 산산이며, 모든 점이 최대 2의 무게를 가진다.
• 이에 해당하는 MRD-코드는 이론적 분석과 계산 검증을 통해 이전에 알려진 동일한 매개변수를 갖는 MRD-코드와 동치가 아니며, 비동치임을 확인한다.
• q ≤ 32 인 경우, 최대 산산 부분공간을 유도하는 서로 다른 노름 값 N_{q^6/q^3}(b) 의 수는 ⌊(q²+q+1)(q−2)/2⌋ 로 추측되며, 이는 이 가족 내에서 추가적인 새로운 예를 시사한다.
• GAP를 사용한 계산 결과, m=6의 경우 q=3,4에서 산산성이 확인되었고, m=8의 경우 q≤8 이면서도 q≤11 홀수에서 산산성이 확인되어 이론적 결과를 뒷받침한다.