[논문 리뷰] A new fractional derivative and its fractional integral with some example

Fahed Zulfeqarr, Amit Ujlayan외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 26.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 α ∈ [0,1] 인 매개수를 포함한 극한을 통해 정의되는 새로운 분수도함수인 변형 도함수(deformable derivative)를 소개한다. 이는 함수와 그 일반 도함수를 모두 일반화한다. 변형 도함수와 일반 도함수 사이의 선형 관계를 수립하고, 롤의 정리, 중간값 정리, 타일러 정리의 유사 정리를 증명하며, 이에 해당하는 분수적 적분을 정의한다. 이 틀은 선형 분수미분방정식을 성공적으로 해결하며, 변환을 통해 고전적 상미분방정식과 동치임을 보여준다.

ABSTRACT

A new derivative, called deformable derivative, is introduced here which is equivalent to ordinary derivative in the sense that one implies other. The deformable derivative is defined using limit approach like that of ordinary one but with respect to a parameter varying over unit interval. Thus it could also be regarded as a fractional derivative. Reason of calling it as deformable derivative is because of its intrinsic property of continuously deforming function to derivative. This is substantiated by its linear connection to function and its derivative. Besides discussing some of its basic properties, we discover the forms of Rolle's, Mean Value and Taylor's theorems. The fundamental theorem of calculus for this fractional derivative could be taken as definition of its fractional integral. As a theoretical application some fractional differential equations are solved.

연구 동기 및 목표

• 새로운 분수도함수인 변형 도함수를 도입하여, 함수와 그 일반 도함수 사이를 부드럽게 보간한다.
• 변형 도함수에 대한 엄밀한 수학적 틀을 수립하고, 고전적 도함수와의 관계를 규명한다.
• 고전적 미적분학 정리인 롤의 정리, 중간값 정리, 타일러 정리를 변형 도함수의 맥락으로 일반화한다.
• 해당하는 분수적 적분 연산자를 정의하고, 분수미분방정식을 해결하는 데서 그 기본적 역할을 증명한다.
• 선형 분수미분방정식을 해석적으로 풀 수 있도록 변형 도함수의 실용적 유용성을 입증한다.

제안 방법

• α + β = 1 이라고 할 때, 변형 도함수 D^αf(t) 를 다음 극한으로 정의한다: lim_{ε→0} [(1+εβ)f(t+αε) - f(t)] / ε.
• 핵심 항등식 D^αf(t) = βf(t) + αDf(t) 를 유도하여, α-미분 가능성과 일반 도함수 가능성 간의 동치성을 보여준다.
• 일반 도함수의 존재성은 변형 도함수의 존재성과 상호로 유도됨을 증명한다.
• 분수적 적분 연산자를 도입한다: I^α_a f(t) = (1/α) e^{(-β/α)t} ∫_a^t e^{(β/α)x} f(x) dx.
• 변형 도함수에 대한 미적분학 기본정리를 수립하여, D^α 와 I^α_a 가 서로 역연산자임을 증명한다.
• 선형 분수미분방정식을 표준 일阶 상미분방정식으로 변환함으로써 이 틀을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 α가 0에서 1로 변할 때 변형 도함수의 기하학적 및 물리적 해석은 무엇인가?
• RQ2 변형 도함수는 리만-리우빌 또는 카푸토와 같은 고전적 분수도함수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 롤의 정리, 중간값 정리, 타일러 정리와 같은 고전적 정리는 변형 도함수 틀로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 변형 도함수와 일반 도함수 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 변형 도함수를 어떻게 활용하여 분수미분방정식을 풀 수 있으며, 그 해석적 해는 무엇인가?

주요 결과

• 변형 도함수는 D^αf(t) = βf(t) + αDf(t) 를 만족하며, 이는 α-미분 가능성과 일반 도함수 가능성 간의 동치성을 증명한다.
• 변형 도함수는 α = 0일 때 함수로, α = 1일 때 일반 도함수로 부드럽게 보간되며, 둘 모두에 대해 선형 의존성을 가진다.
• 롤의 정리, 중간값 정리, 타일러 정리의 유사 정리가 변형 도함수에 대해 수립되었으며, 이는 고전적 미적분학을 이 분수적 맥락으로 확장한다.
• 분수적 적분 연산자 I^α_a f(t) 는 변형 도함수를 역으로 만들도록 정의되어 있으며, 미적분학 기본정리를 만족한다.
• 선형 분수미분방정식의 해는 표준 상미분방정식으로 변환함으로써 유도된다. 예를 들어, D^{1/2}y + y = te^{-t} 는 y(t) = Ce^{-3t} + (t - 1/2)e^{-t} 를 만족한다.
• 방정식 D^{α₂}[D^{α₁}y] = 0 에 대해 일반해는 서로 다른 근일 경우 y = C₁e^{-(β₁/α₁)t} + C₂e^{-(β₂/α₂)t} 이며, 중복근일 경우 (C₁ + C₂t)e^{-(β/α)t} 이다.