[논문 리뷰] A new Galois structure in the category of internal preorders

Alberto Facchini, Carmelo Antonio Finocchiaro외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 19.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정확한 범주 C의 내부 전순서의 범주 PreOrd(C)에서 새로운 프리터전 이론 (Eq(C), ParOrd(C))를 수립하며, 내부 부분순서로의 반사자가 안정된 단위를 가지므로, 적합한 카테고리적 갈루아 구조를 유도함을 보여준다. C = Set 인 경우, PreOrd(Set)에서 단조증가-경량 분해 체계를 얻게 되며, 알렉산드로프-이산 공간과 분할 위상에 의한 위상적 해석이 가능하다.

ABSTRACT

Let $\mathsf{PreOrd}(\mathbb C)$ be the category of internal preorders in an exact category $\mathbb C$. We show that the pair $(\mathsf{Eq}(\mathbb C), \mathsf{ParOrd}(\mathbb C))$ is a pretorsion theory in $\mathsf{PreOrd}(\mathbb C)$, where $\mathsf{Eq}(\mathbb C)$ and $\mathsf{ParOrd}(\mathbb C)$) are the full subcategories of internal equivalence relations and of internal partial orders in $\mathbb C$, respectively. We observe that $\mathsf{ParOrd}(\mathbb C)$ is a reflective subcategory of $\mathsf{PreOrd}(\mathbb C)$ such that each component of the unit of the adjunction is a pullback-stable regular epimorphism. The reflector $F:\mathsf{PreOrd}(\mathbb C) o \mathsf{ParOrd}(\mathbb C)$ turns out to have stable units in the sense of Cassidy, Hébert and Kelly, thus inducing an admissible categorical Galois structure. In particular, when $\mathbb C$ is the category $\mathsf{Set}$ of sets, we show that this reflection induces a monotone-light factorization system (in the sense of Carboni, Janelidze, Kelly and Paré) in $\mathsf{PreOrd}(\mathsf{Set})$. A topological interpretation of our results in the category of Alexandroff-discrete spaces is also given, via the well-known isomorphism between this latter category and $\mathsf{PreOrd}(\mathsf{Set})$.

연구 동기 및 목표

• 정확한 범주 C의 내부 전순서의 범주 PreOrd(C)에서 프리터전 이론 (Eq(C), ParOrd(C))를 수립하기.
• 내부 부분순서로의 반사자 F: PreOrd(C) → ParOrd(C)가 안정된 단위를 가지며, 이는 적합한 카테고리적 갈루아 구조를 유도함을 보여주기.
• C = Set 인 특수한 경우에 유도된 단조증가-경량 분해 체계를 특성화하기.
• 알렉산드로프-이산 공간과의 동형사상에 의한 위상적 해석 제공하기.
• 전순서의 대수적 구조와 T0 분리성, 분할 위상과 같은 위상적 성질 간의 관계를 연결하기.

제안 방법

• 내부 동치관계의 부분범주 Eq(C)와 내부 부분순서의 부분범주 ParOrd(C)를 사용하여 PreOrd(C)에서 프리터전 이론 (T, F) 정의하기.
• ParOrd(C) ↪ PreOrd(C)의 포함관계가 반사적임을 증명하며, 반사자의 단위 성분이 인서트된 풀백 안정성 정규 에피모르피즘을 갖는다고 보여주기.
• 카시디, 헤베르트, 켈리의 의미에서 반사자 F가 안정된 단위를 갖는다고 보여주며, 이는 적합한 갈루아 구조를 유도함을 의미함.
• 갈루아 구조에 의해 유도된 분해 체계 (E, M)를 특성화하기. 여기서 E는 F에 의해 역전되는 사상들의 집합이고, M은 자명한 코버링들로 구성됨.
• C = Set로 특수화하여, 반사가 PreOrd(Set)에서 단조증가-경량 분해 체계 (E′, M*)를 유도함을 보여주며, E′은 자명한 피보터 위상과 함께 풀백 안정성 정규 에피모르피즘들의 집합임.
• PreOrd(Set)와 알렉산드로프-이산 공간의 범주 Alex 사이의 알려진 동형사상을 사용하여 대수적 결과를 위상적 용어로 번역함. 특히 전순서 관계와 위상, T0/분리성 성질 간의 관계를 다룸.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 영 대상이 없는 경우, PreOrd(C) 범주에서 어떻게 프리터전 이론을 정의할 수 있는가?
• RQ2 내부 전순서에서 내부 부분순서로의 반사자가 안정된 단위를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ3 반사에 의해 유도된 PreOrd(Set)에서의 단조증가-경량 분해 체계의 구조는 어떠한가?
• RQ4 알렉산드로프-이산 공간에서 전순서의 대수적 성질은 위상적 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 위상에 의해 유도된 전순서가 동치관계가 되는 경우는 언제이며, 이는 위상에 대해 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• (Eq(C), ParOrd(C))는 PreOrd(C)에서 프리터전 이론를 형성하며, ParOrd(C)는 반사적 부분범주임.
• 반사자 F: PreOrd(C) → ParOrd(C)는 안정된 단위를 가지며, 이는 유도된 갈루아 구조가 적합함을 보장함.
• C = Set 인 경우, 반사는 PreOrd(Set)에서 단조증가-경량 분해 체계 (E′, M*)를 유도함. 여기서 E′은 자명한 피보터 위상과 함께 풀백 안정성 정규 에피모르피즘들의 집합임.
• PreOrd(Set)에서 사상 f: A → B는 f의 각 피보터가 부분공간 위상에서 T0 공간일 때이고, 오직 그 때에만 M*에 속함.
• 알렉산드로프-이산 공간에 대해, 위상에 의해 유도된 전순서가 부분순서임은 공간이 T0일 때이고, 오직 그 때에만 동치관계임.
• 알렉산드로프-이산 공간의 범주 Alex는 (PartAlex, T0Alex)라는 프리터전 이론을 갖으며, 여기서 PartAlex는 분할 위상이 있는 공간들의 집합이고, T0Alex는 T0인 공간들의 집합이며, T0Alex로의 반사는 동일한 클로처를 가진 점들을 식별하는 몰입사상에 의해 주어짐.