[논문 리뷰] A new gap phenomenon for proper holomorphic mappings from B^n into B^N

Jimmy Xiangji Huang, Shanyu Ji외 1명|ArXiv.org|2006. 05. 02.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 11인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 기하적 랭크가 열화된 복소 공 사이의 정규화된 허수 해석적 사상에 대해 의사정규형을 수립하여 기하적 랭크가 1인 사상의 완전한 특성화를 가능하게 한다. 주요 결과는 $4 \leq n \leq N \leq 3n-4$인 경우 $\mathbf{B}^n$에서 $\mathbf{B}^N$으로의 유리형 정규화된 허수 해석적 사상은 모두 D’Angelo 사상과 동치임을 보여주며, 이러한 사상의 분류에서 새로운 갭 현상이 드러나게 된다.

ABSTRACT

In this paper (Math. Res. Lett. 13 (2006). No 4, 509-523), the authors established a pseudo-normal form for proper holomoprhic mappings between balls in complex spaces with degenerate rank. This then was used to give a complete characterization for all proper holomorphic maps with geometric rank one, which, in particular, includes the following as an immediate application: Theorem: Any rational holomorphic map from B^n into B^N with $4\le n\le N\le 3n-4$ is equivalent to the D'Angelo map $$F_θ(z',w)=(z',(\cosθ)w,(\sinθ)z_1w, ..., (\sinθ)z_{n-1}w, (\sinθ)w^2, 0'), 0\le θ\leq π/2.$$ It is a well-known (but also quite trivial) fact that any non-constant rational CR map from a piece of the sphere $\partial {B^n}$ into the sphere $\partial {B^N}$ can be extended as a proper rational holomoprhic map from $B^n$ into $B^N$ ($N\ge n\ge 2$). By using the rationality theorem that the authors established in [HJX05], one sees that the the above theorem (and also the main theorem of the paper) holds in the same way for any non-constant $C^3$-smooth CR map from a piece of $\partial {B^n}$ into $\partial{B^N}$. The paper [Math. Res. Lett. 13 (2006). No 4, 509-523] was first electronically published by Mathematical Research Letters several months ago at its home website: http://www.mrlonline.org/mrl/0000-000-00/Huang-Ji-Xu2.pdf. (The pdf file of the printed journal version can also be downloaded at http://www.math.uh.edu/~shanyuji/rank1.pdf).

연구 동기 및 목표

• 기하적 랭크가 열화된 경우 복소 공 사이의 정규화된 허수 해석적 사상의 구조를 이해하기 위해.
• 중간 차원 범위 $4 \leq n \leq N \leq 3n-4$에서 $\mathbf{B}^n$에서 $\mathbf{B}^N$으로의 유리형 정규화된 허수 해석적 사상의 분류 문제를 다루기 위해.
• 기하적 랭크가 열화된 사상에 대해 의사정규형을 수립하여 랭크가 1인 경우의 완전한 분류를 가능하게 하기 위해.
• 정리 [HJX05]의 유리성 정리를 활용하여 유리형 사상의 결과를 $C^3$-연속적인 CR 사상으로 확장하기 위해.
• 비선형 정규화된 허수 해석적 사상이 존재하는 차원 범위에서 새로운 갭 현상이 드러나도록 하기 위해.

제안 방법

• 기하적 랭크가 열화된 복소 공 사이의 정규화된 허수 해석적 사상에 대해 의사정규형을 개발하기 위해.
• 의사정규형을 활용하여 기하적 랭크가 1인 사상의 구조를 분석하기 위해.
• 정리 [HJX05]의 유리성 정리를 적용하여 유리형 사상의 결과를 $C^3$-연속적인 구면 사이의 CR 사상으로 확장하기 위해.
• CR 기하학과 허미트 형식의 기법을 활용하여 이러한 사상의 강성과 정규형을 분석하기 위해.
• D’Angelo 사상의 구조를 다른 가능한 유리형 정규화된 사상과 비교하여 동치 관계 이외의 형태가 존재하지 않음을 보여주기 위해.
• 기존의 정규화된 허수 해석적 사상과 CR 사상에 관한 결과를 활용하여 지정된 차원 범위에서 갭 현상을 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하적 랭크가 1인 경우 $\mathbf{B}^n$에서 $\mathbf{B}^N$으로의 정규화된 허수 해석적 사상의 완전한 분류는 무엇인가?
• RQ2 차원 범위 $4 \leq n \leq N \leq 3n - 4$에서 유리형 정규화된 허수 해석적 사상의 가능한 형태는 무엇인가?
• RQ3 유리형 정규화된 사상의 분류는 구면 사이의 $C^3$-연속적인 CR 사상으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ4 D’Angelo 사상은 주어진 차원 범위에서 이러한 모든 사상의 특성화에 있어 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 중간 차원 범위에서 정규화된 허수 해석적 사상의 분류에 있어 새로운 갭 현상은 무엇인가?

주요 결과

• 기하적 랭크가 1인 경우 $\mathbf{B}^n$에서 $\mathbf{B}^N$으로의 모든 유리형 정규화된 허수 해석적 사상은 $4 \leq n \leq N \leq 3n - 4$ 조건을 만족할 때 D’Angelo 사상 $F_\theta$와 동치이다.
• D’Angelo 사상 $F_\theta$는 이러한 사상의 유일한 정규형이며, $\theta \in [0, \pi/2]$로 매개변수화되어 있다.
• 이 분류는 유리형 사상 뿐 아니라 $\partial\mathbf{B}^n$의 일부에서 $\partial\mathbf{B}^N$으로의 $C^3$-연속적인 CR 사상에게도 적용된다.
• 새로운 갭 현상이 확립되었다: $4 \leq n \leq N \leq 3n - 4$의 차원 범위에서 D’Angelo 가족 외의 다른 유리형 정규화된 허수 해석적 사상은 존재하지 않는다.
• 의사정규형 구성은 기하적 랭크가 1인 경우를 성공적으로 포괄하여 완전한 분류를 가능하게 하였다.
• 이전의 정규화된 허수 해석적 사상에 관한 연구를 확장하며, 중간 차원 범위에서 강성 성질이 확인되었다.