[논문 리뷰] A new generalized prime random approximation procedure and some of its applications

Frederik Broucke, Jasson Vindas|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 16.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 베를링 소수 체계를 구성하는 데 있어 소수 개수 함수와 주어진 목표 함수 F 사이의 이질성에 대해 뛰어난 통제력을 가진 새로운 일반화된 소수 랜덤 근사 절차를 소개한다. 이로 인해 |πₚ(x) − F(x)| ≤ 2 를 달성하며, 기존의 DMVZ 확률적 기법보다 더 좁은 오차 한계를 제공한다. 이는 디리클레 급수의 고유한 영점, 잘 조율된 일반화된 수 체계, 그리고 큰 진동을 보이는 베를링 제타 함수에 관한 열린 문제를 해결하는 데 응용된다.

ABSTRACT

We present a new random approximation method that yields the existence of a discrete Beurling prime system $\mathcal{P}=\{p_{1}, p_{2}, \dotso\}$ which is very close in a certain precise sense to a given non-decreasing, right-continuous, nonnegative, and unbounded function $F$. This discretization procedure improves an earlier discrete random approximation method due to H. Diamond, H. Montgomery, and U. Vorhauer [Math. Ann. 334 (2006), 1-36], and refined by W.-B. Zhang [Math. Ann. 337 (2007), 671-704]. We obtain several applications. Our new method is applied to a question posed by M. Balazard concerning Dirichlet series with a unique zero in their half plane of convergence, to construct examples of very well-behaved generalized number systems that solve a recent open question raised by T. Hilberdink and A. Neamah in [Int. J. Number Theory 16 05 (2020), 1005-1011], and to improve the main result from [Adv. Math. 370 (2020), Article 107240], where a Beurling prime system with regular primes but extremely irregular integers was constructed.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 DMVZ 방법에 비해 오차 통제가 크게 향상된 정교한 랜덤 근사 방법을 개발하여 일반화된 소수 체계를 생성하는 것.
• 특히 수렴 반평면 내 정확히 하나의 영점만을 갖는 디리클레 급수의 존재성과 관련된 베를링 수론의 열린 문제를 다루는 것.
• 최근 힐베르딘과 니아마가 제기한 조건을 만족하는 잘 조율된 일반화된 수 체계를 구성하는 것.
• 정규적인 소수를 갖지만 정수는 매우 비정규적인 베를링 체계의 이전 구성 방식을 개선하여 소수 개수 함수의 이질성이 유계가 되도록 하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 새로운 분포 규칙을 사용하는 랜덤 변수를 할당하여 이산적인 일반화된 소수 체계 𝒫 = {p_j} 를 구성하며, 이는 πₚ(x) − F(x) 에 대한 더 엄격한 통제를 가능하게 하기 위해 DMVZ 접근 방식과 근본적으로 다름.
• 목표 함수 F 가 비감소, 오른쪽 연속, 무한대, 그리고 체비셰프 추정식 F(x) ≪ x/log x 를 만족하는 조건 하에, 모든 x ≥ 1 에 대해 |πₚ(x) − F(x)| ≤ 2 를 보장하는 수정된 확률적 기법을 적용.
• 절대 연속이 아닐 수 있는 측도 dF 를 근사하는 데까지 확장하여 특이하거나 미분 불가능한 목표 함수에도 적용 가능하도록 한다.
• 연속적인 F 에 대해서는 |πₚ(x) − F(x)| ≤ 1 인 엄격히 증가하는 수열을 생성하여 매끄러운 설정에서 정밀도를 향상시킨다.
• 이 방법은 지수 합에 대한 새로운 추정식에 의존한다: |∑_{p_j ≤ x} p_j^{−it} − ∫₁ˣ u^{−it} dF(u)| ≪ √x + √(x log(|t|+1)/log(x+1)), 이는 DMVZ 추정식의 강도를 유지하면서도 더 엄격한 수량 제어를 가능하게 한다.
• 이 절차는 로그 적분과 진동 오차 항을 포함하는 Π_c(x) 및 π_c(x) 와 같은 목표 함수에 적용하여 특정 소수 체계를 구성하는 데 응용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수렴 반평면 내 정확히 하나의 영점을 갖는 디리클레 급수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 최근 힐베르딘과 니아마가 제기한 조건을 만족하는 잘 조율된 일반화된 수 체계가 존재하는가?
• RQ3 정규적인 소수를 갖지만 매우 비정규적인 정수를 갖는 베를링 소수 체계를 구성할 수 있으며, 소수 개수 함수의 이질성이 유계로 유지되는가?
• RQ4 무한대, 오른쪽 연속, 비감소인 F 에 대해 체비셰프 추정식을 만족하는 임의의 함수에 대해 |πₚ(x) − F(x)| ≤ 2 를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 모든 x ≥ 1 에 대해 |πₚ(x) − F(x)| ≤ 2 를 만족하는 일반화된 소수 체계 𝒫 를 구성하며, 이는 기존 DMVZ 방법의 √x 오차 한계에 비해 크게 향상된다.
• 연속적인 F 에 대해서는 |πₚ(x) − F(x)| ≤ 1 인 엄격히 증가하는 수열을 생성하여 더 높은 정규성과 정밀도를 확보한다.
• 이 방법은 발라르드의 질문을 해결하여 수렴 반평면 내 정확히 하나의 영점을 갖는 디리클레 급수를 구성한다.
• 정규적인 소수와 매우 비정규적인 정수를 갖는 일반화된 수 체계를 구성하며, 이는 이전의 이질성이 통제되지 않은 구성 방식을 개선한다.
• 이 방법은 오른쪽 반평면 {Re s > 0} 에서 영점이 없는 베를링 제타 함수를 구성할 수 있게 하여, 고전적인 리만 제타 함수와 이 측면에서 동일한 행동을 보인다.
• 이 방법의 핵심 지수 합 추정식은 유지된다: |∑_{p_j ≤ x} p_j^{−it} − ∫₁ˣ u^{−it} dF(u)| ≪ √x + √(x log(|t|+1)/log(x+1)), 이는 제타 함수 성질에 대한 해석적 통제를 보장한다.