[논문 리뷰] A new Hamiltonian formalism for singular Lagrangian theories

Steven Duplij|arXiv (Cornell University)|2009. 09. 14.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 헤시안 행렬이 0이 되는 경우 표준 레그랑주-페인클 변환이 실패할 수 있는 특이 레그랑주 이론에 대해, 다차원 클레르 였의 혼합 해를 이용한 새로운 하미르톤 형식을 제안한다. 이는 헤시안이 0일 때도 일반화된 레그랑주 변환을 가능하게 하며, 제약 조건을 피하기 위해 비동역학적 운동량을 제외하고 특이 좌표를 매개변수로 간주함으로써, 디라크 유형의 제약 조건 없이도 자기 일관된 특이 시스템 기술을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We introduce a version of the Hamiltonian formalism based on the Clairaut equation theory, which allows us a self-consistent description of systems with degenerate (or singular) Lagrangian. A generalization of the Legendre transform to the case, when the Hessian is zero is done using the mixed (envelope/general) solutions of the multidimensional Clairaut equation. The corresponding system of equations of motion is equivalent to the initial Lagrange equations, but contains "nondynamical" momenta and unresolved velocities. This system is reduced to the physical phase space and presented in the Hamiltonian form by introducing a new (non-Lie) bracket.

연구 동기 및 목표

• 헤시안 행렬이 0이 되는 특이 레그랑주 시스템에 대해 표준 레그랑주 변환이 실패하는 상황에서 자기 일관된 하미르톤 형식을 개발하는 것.
• 다차원 클레르 였 방정정식의 혼합(포락선/일반) 해를 이용해 레그랑주 변환을 일반화하는 것.
• 비동역학적 운동량을 배제하고 특이 좌표를 매개변수로 간주함으로써 제약 조건이 필요 없도록 하는 것.
• 보조 조건 없이도 원래 레그랑주 방정정식과 동치인 하미르톤 유사 시스템의 방정정식을 유도하는 것.
• 하미르톤 형식이 자코비 항등식과 반대칭성 실패에도 불구하고 시간 진화를 제어할 수 있도록 하는 새로운 비라이프 브라켓을 도입하는 것.

제안 방법

• 다차원 클레르 였 방정정식의 해를 이용해 헤시안이 특이한 레그랑주 이론에 대해 레그랑주 변환을 일반화하는 클레르 였 쌍대성 변환을 활용한다.
• 클레르 였 방정정식에서 동역학적 운동량 $ p_A $ 와 매개변수 $ \bar{p}_A $ 를 구분하여 혼합 해를 허용한다.
• 물리적 및 수학적 이유에 기반해 비특이 운동량 $ p_i $ 만을 포함하는 제한된 위상공간을 정의한다.
• 표준 파울리 브라켓에 필드 강도 $ F_{\alpha\beta} $ 와 역행렬 $ \bar{F}^{\alpha\beta} $ 를 포함한 항들을 결합한 새로운 브라켓 $ \{X,Y\}_F $ 를 사용해 운동 방정정식을 유도한다.
• 필드 강도 행렬의 질량이 최대 질량일 경우, $ v^\beta = D_\alpha H_0 \bar{F}^{\alpha\beta} $ 를 통해 속도를 대수적으로 구한다.
• 시간 진화가 새로운 브라켓 (30) 에 의해 제어되는 방정정식 (28)–(29) 를 통해 하미르톤 형식으로 제시된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤시안 행렬이 0인 특이 레그랑주 이론에 대해 레그랑주 변환을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 다차원 클레르 였 방정정식의 혼합 해가 일관된 하미르톤 형식을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 특이 이론에서 제약 조건을 도입하지 않고도 하미르톤 시스템을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 비라이프 브라켓 $ \{X,Y\}_F $ 는 특이 속도를 가진 시스템에서 시간 진화를 어떻게 제어하는가?
• RQ5 특이 운동량 $ \bar{p}_\alpha $ 를 위상공간에서 배제하는 데 있어 물리적 및 수학적 근거는 무엇인가?

주요 결과

• 클레르 였 방정정식을 통한 일반화된 레그랑주 변환은 헤시안이 0이 되는 경우에도 자기 일관된 하미르톤 형식을 가능하게 하며, 표준 레그랑주-펜클 변환을 초월한다.
• 방정정식 (22)–(24) 는 원래 레그랑주 방정정식과 동치이며, 물리적 일관성을 보장한다.
• 특이 운동량 $ \bar{p}_\alpha $ 는 속도로 해석될 수 없고 동역학적 의미가 없기 때문에 위상공간에서 제외된다.
• 식 (30) 에서 정의된 새로운 브라켓 $ \{X,Y\}_F $ 는 시간 진화를 제어하며, 반대칭성이 없고 자코비 항등식을 만족하지 않아 표준 양자화를 불가능하게 한다.
• 필드 강도 행렬 $ F_{\alpha\beta} $ 가 질량 $ n-r $ 을 가지면, 속도 $ v^\alpha $ 는 대수적으로 해를 구할 수 있어 하미르톤 형식이 가능하다.
• 비동역학적 운동량을 포함하지 않기 때문에 제약 조건 분석이 필요 없이 제약 조건을 완전히 피하는 방식을 취한다.