[논문 리뷰] A New Kind of High-Order Multi-step Schemes for Forward Backward Stochastic Differential Equations

Weidong Zhao, Yu Fu외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 전방-후방 확률미분방정식(FBSDEs)을 해결하기 위한 새로운 고차수 다단계 수치적 방법을 제안한다. 전방 SDE에는 오일러 방법을 적용하면서도 후방 SDE의 해상도에서 고차수 정확도를 유지한다. 후방 SDE에서 유도된 기준 상미분방정식에서 조건부 기대값과 그 도함수를 근사함으로써 다단계 수치적 방법을 구성함으로써 고차수 수렴성을 확보한다. 이는 분리형 및 완전히 결합된 FBSDE 모두에 대해 수치 실험에서 뛰어난 효율성과 정확도를 입증한다.

ABSTRACT

In this work, we concern with the high order numerical methods for coupled forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs). Based on the FBSDEs theory, we derive two reference ordinary differential equations (ODEs) from the backward SDE, which contain the conditional expectations and their derivatives. Then, our high order multi-step schemes are obtained by carefully approximating the derivatives and the conditional expectations in the reference ODEs. Motivated by the local property of the generator of diffusion processes, the Euler method is used to solve the forward SDE, however, it is noticed that the numerical solution of the backward SDE is still of high order accuracy. Such results are obviously promising: on one hand, the use of Euler method (for the forward SDE) can dramatically simplifies the entire computational scheme, and on the other hand, one might be only interested in the solution of the backward SDE in many real applications such as option pricing. Several numerical experiments are carried out to demonstrate the effectiveness of the numerical method.

연구 동기 및 목표

• 전방 및 후방 성분 상호의 의존성으로 인해 도전적인 결합 FBSDE에 대해 효율적인 고차수 수치적 방법을 개발하기 위해.
• 전방 SDE에 간단한 오일러 방법을 사용함으로써 고차수 방법의 계산 부담을 줄이되, 후방 해상의 고차수 정확도를 유지하기 위해.
• 옵션 가격 설정과 같은 응용 분야에서 주로 목표로 하는 후방 SDE에 계산 효율성을 집중하기 위해.
• 전방 SDE가 저차수 방법으로 해결되더라도 고차수 수렴성을 보장하는 이론적 및 수치적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 후방 변수에 의존하는 확산 계수를 가진 분리형 및 완전히 결합된 FBSDE에 대해 방법을 검증하기 위해.

제안 방법

• 후방 SDE에서 유도된 조건부 기대값과 그 도함수를 포함하는 두 개의 기준 상미분방정식을 유도한다.
• 고차수 다단계 기법을 사용하여 조건부 기대값과 그 도함수를 근사함으로써 수치적 방법을 구성한다.
• 전방 SDE에 오일러 방법을 적용하여 계산 비용을 크게 감소시키지만, 후방 해상의 고차수 정확도를 유지한다.
• 확산 과정의 생성자에 대한 국소적 성질을 이용하여, 전방 성분에 오일러 방법을 사용하더라도 전체 수렴성이 떨어지지 않음을 정당화한다.
• 후방 성분에서 $Y_0$와 $Z_0$에 대해 모두 순서-$k$ 수렴을 달성하는 다단계 방법을 구성한다.
• 다양한 스텝 크기와 순서 $k=1$에서 $k=4$까지의 수치 실험을 통해 방법을 검증하며, 수렴 속도와 실행 시간을 측정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 저차수 방법(오일러)을 전방 SDE에 사용하면서도 후방 해상의 고차수 정확도를 유지할 수 있는 결합 FBSDE를 위한 고차수 다단계 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ2 후방 계수에 의존하는 $Y_t$와 $Z_t$를 포함한 경우, 분리형 및 완전히 결합된 FBSDE에 대해 제안된 방법의 수렴 속도는 어떻게 되는가?
• RQ3 다단계 방법의 순서 $k$가 증가함에 따라 계산 비용은 어떻게 변화하며, 높은 $k$에 대해서도 방법이 효율적인가?
• RQ4 오일러 방법은 뿌리가 첫 번째 순서 정확도를 가지므로, 전방 SDE를 오일러 방법으로 해결할 때도 고차수 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ5 정확한 해가 알려진 기준 문제에서 이 방법은 실질적으로 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 제안된 다단계 방법은 후방 SDE의 $Y_0$와 $Z_0$에 대해 모두 순서-$k$ 수렴을 달성하며, 수치 실험에서 수렴 속도가 $k$에 가까워진다.
• 예제 4에서 $k=4$일 경우, $|Y^0 - Y_0|$에 대해 약 4.006의 수렴 속도와 $|Z^0 - Z_0|$에 대해 약 4.055의 수렴 속도를 기록하여 고차수 정확도를 확인한다.
• 예제 5에서 $σ$가 $X_t, Y_t, Z_t$에 의존하는 완전히 결합된 FBSDE에 대해 $k=4$일 때, $|Y^0 - Y_0|$에 대해 약 3.996의 수렴 속도와 $|Z^0 - Z_0|$에 대해 약 3.911의 수렴 속도를 기록하여 강건성을 입증한다.
• 실행 시간(RT)은 $k$가 증가함에 따라 증가하지만, 방법은 여전히 효율적이며, 예제 5에서 $k=1$부터 $k=4$까지의 RT 값은 각각 13.982, 40.198, 182.862, 1267.329이다.
• 전방 SDE에 오일러 방법을 사용함으로써 계산 비용을 크게 감소시키면서도 후방 해상의 고차수 정확도를 유지하므로, 옵션 가격 설정과 같은 응용 분야에서 매우 효율적인 방법이 된다.
• 이 방법은 후방 변수에 의존하는 확산 계수를 가진 분리형 및 완전히 결합된 FBSDE 모두에 효과적이며, 정확한 해가 알려진 여러 수치 예제를 통해 이를 확인하였다.