[논문 리뷰] A New Northcott Property for Faltings Height

Lucia Mocz|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 18.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복소수체 위의 CM 아벨 다양체의 팔링스 높이에 대해 새로운 노스코트 성질을 수립하며, 콜메즈 및 아르틴 추측을 전제로 하여 높이가 유계인 이so모르피즘 유형이 유한 개 존재함을 증명한다. 키신 모듈과 함께 정수적 p-진 호지 이론을 활용하여, 호지 번들의 변형을 분석함으로써 이소지니를 통해 높이 변화를 계산하고, 저차원에서 새로운 콜메즈 유형의 공식과 이소지니 클래스 내 높이 변화에 대한 정량적 프레임워크를 도출한다.

ABSTRACT

In this work we prove a new Northcott property for the Faltings height. Namely we show, assuming the Colmez Conjecture and the Artin Conjecture, that there are finitely many CM abelian varieties over the complex numbers of a fixed dimension which have bounded Faltings height. The technique developed uses new tools from integral p-adic Hodge theory to study the variation of Faltings height within an isogeny class of CM abelian varieties. In special cases, we are moreover able to use the technique to develop new Colmez-type formulas for the Faltings height.

연구 동기 및 목표

• 복소수체 위의 CM 아벨 다양체의 팔링스 높이에 대해 새로운 노스코트 성질을 수립하여, 고정된 차원 g를 가진 높이가 유계인 이so모르피즘 유형이 유한 개 존재함을 보이는 것.
• CM 아벨 다양체의 이소지니 클래스 내 팔링스 높이 변화를 정량적으로 계산하는 방법을 개발하는 것.
• 저차원 특수 케이스에서 팔링스 높이에 대한 새로운 콜메즈 유형의 공식을 유도하는 것.
• 특히 키신 모듈을 통한 정수적 p-진 호지 이론을 활용하여, CM 맥락에서 p-나누어지지 않는 군의 분열과 변형을 연구하는 것.
• CM 체에서 소의 분해 조합을 활용하여 팔링스의 원래 노스코트 성질을 CM 아벨 다양체의 이소지니 클래스로 일반화하는 것.

제안 방법

• CM 아벨 다양체 맥락에서 유한 평탄 부분군 스킴과 p-나누어지지 않는 군을 분류하고 분석하기 위해 키신 모듈을 활용하는 것.
• 유한 키신 모듈의 하더-나라시마한 이론을 활용하여 이소지니의 구조를 분해하고 연구하는 것.
• 키신 모듈의 외적의 거듭제곱에서의 포화된 직선 $\mathfrak{L}$ 에 대해 $v_u(\det(\phi_{\mathfrak{L}}))$ 를 통해 상대 호지 번들을 계산하는 것.
• 키신 모듈을 통한 p-나누어지지 않는 군의 변형 이론을 적용하여 이소지니 간의 높이 변화를 추적하는 것.
• 키신 모듈에서 프로베니우스 사상의 행렬식에 대한 명시적 p-진 절댓값을 통해 분열 행동을 분석하는 것.
• 반사 노름과 CM 이론을 활용하여 산술 불변량을 CM 체 내 분해 행동과 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CM 아벨 다양체의 팔링스 높이가 이소지니 클래스 내에서 유계가 될 수 있으며, 높이가 유계인 이so모르피즘 유형이 유한 개 존재하는가?
• RQ2 CM 아벨 다양체 간 기본 이소지니를 통해 팔링스 높이가 어떻게 변화하는가? 이 변화는 명시적으로 계산될 수 있는가?
• RQ3 p-진 호지 이론을 활용하여 저차원 CM 케이스에서 팔링스 높이에 대한 새로운 콜메즈 유형의 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 정수적 p-진 호지 이론, 특히 키신 모듈을 통해 이소지니 클래스 내 높이 변화를 연구하는 데 얼마나 활용될 수 있는가?
• RQ5 CM 체 내 소의 분열이 팔링스 높이의 변화에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 콜메즈 및 아르틴 추측을 전제로 하면, 고정된 차원 $g$를 가진 높이가 유계인 CM 아벨 다양체의 이소모르피즘 유형은 유한 개 존재한다.
• 소수 거듭제곱 이소지니를 통해 팔링스 높이의 변화는 $\bigwedge^k \mathfrak{M}$ 내의 포화된 직선 $\mathfrak{L}$ 에 대해 $v_u(\det(\phi_{\mathfrak{L}}))$ 를 통해 계산되며, $p=2$ 및 $p\equiv 1\mod 4$ 인 경우에 대해 명시적 공식이 유도되었다.
• $p=2$ 이고 $[E:\mathbb{Q}_2]=4$ 이며 완전히 분열한 경우, $\mathfrak{L} \subseteq \bigwedge^2 \mathfrak{M}$ 에 대해 $v_u(\det(\phi_{\mathfrak{L}})) \in \{4(2^4-2^3), 4(2^4-2^3)+2^3\}$ 이다.
• $p=2$ 인 경우, $\# \frac{1}{[K:\mathbb{Q}_p]} \log s^*\Omega^4_{\mathcal{H}/\mathcal{O}_K}$ 의 공식은 $R_1(2)=2(2^4-2^3)-2^3$, $R_2(2)=4(2^4-2^3)-2^3$, $R_3(2)=6(2^4-2^3)-2^3$ 를 포함한다.
• 논문은 비분할 및 완전히 분열한 설정에서 미분 계산을 활용하여, 예를 들어 순환 아벨 표면의 특수 케이스에서 새로운 콜메즈 유형의 공식을 도출한다.