[논문 리뷰] A new numerical approach to Anderson (de)localization

Constanze Liaw|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 12.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 랭크-원 편항 이론과 특이 스펙트럼 측도에 대한 벡터의 순환성에 기반하여, 무질서한 양자 시스템에서 앤더슨(비)국소화를 연구하기 위한 새로운 수치적 방법을 제안한다. 이 방법은 2차원 이산 무작위 슈뢰딩거 연산자가 작은 무질서 조건에서 양적 국소화가 아닐 가능성이 있는 강력한 수치적 증거를 드러내며, 보편적인 국소화에 대한 널리 퍼진 믿음을 도전한다.

ABSTRACT

We develop a new approach for the Anderson localization problem. The implementation of this method yields strong numerical evidence leading to a (surprising to many) conjecture: The two dimensional discrete random Schroedinger operator with small disorder allows states that are dynamically delocalized with positive probability. This approach is based on a recent result by Abakumov-Liaw-Poltoratski which is rooted in the study of spectral behavior under rank-one perturbations, and states that every non-zero vector is almost surely cyclic for the singular part of the operator. The numerical work presented is rather simplistic compared to other numerical approaches in the field. Further, this method eliminates effects due to boundary conditions. While we carried out the numerical experiment almost exclusively in the case of the two dimensional discrete random Schroedinger operator, we include the setup for the general class of Anderson models called Anderson-type Hamiltonians. We track the location of the energy when a wave packet initially located at the origin is evolved according to the discrete random Schroedinger operator. This method does not provide new insight on the energy regimes for which diffusion occurs.

연구 동기 및 목표

• 무질서한 양자 시스템에서 앤더슨 국소화 및 비국소화를 연구하기 위한 새로운 수치적 접근법을 개발하기.
• 작은 무질서 조건을 가진 2차원 이산 무작위 슈뢰딩거 연산자가 완전한 국소화를 보이지 않을 것이라는 추측을 검증하기.
• 기존 수치 연구에서 흔히 발생하는 경계 조건의 영향을 제거하기.
• 랭크-원 편항에 의한 스펙트럼 순환성에 기반한 수치적으로 실현 가능한 방법을 제공하기.
• 낮은 무질서 조건을 가진 2차원 시스템에서 웨이브 패킷의 동적 행동을 조사하기.

제안 방법

• 최근 이론적 결과에 기반하여, 모든 영이 아닌 벡터는 앤더슨 유형 해밀토니안의 특이 스펙트럼 부분에 대해 거의 확실히 순환적임을 활용한다.
• 시작 시점에 원점에 국소화된 단일 웨이브 패킷이 이산 무작위 슈뢰딩거 연산자의 반복 적용을 통해 어떻게 변화하는지 추적한다.
• 에너지 분포는 원점 중심의 '다이아몬드 모양' 영역에서 유클리드 노름을 계산하여 분석한다. 이 영역은 고정된 맨하탄 거리에 대응한다.
• 유한 체적 근사가 아닌 스펙트럼 성질에 의존함으로써 경계 효과를 피한다.
• 수치 실험은 2차원에서 i.i.d. 균일 무질서를 [-c,c]에 가진 이산 무작위 슈뢰딩거 연산자를 사용하여 수행된다.
• 이 방법은 다른 앤더슨 유형 해밀토니안으로 일반화 가능하며, d=2일 때 O(n²)의 효율적인 메모리 사용을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작은 무질서 조건에서 2차원 이산 무작위 슈뢰딩거 연산자가 동적 비국소화를 보일까? 이는 기존의 국소화 신념과 모순된다.
• RQ2 스펙트럼 순환성에 기반한 수치적 방법은 경계 조건의 영향 없이 비국소화 상태를 탐지할 수 있는가?
• RQ3 낮은 무질서 조건을 가진 2차원 시스템에서 웨이브 패킷의 에너지 분포는 시간이 지남에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ4 관측된 비국소화 행동은 여러 실현과 무질서 강도에 걸쳐 견고한가?
• RQ5 이 방법은 표준 격자 모델을 초월한 다른 앤더슨 유형 해밀토니안으로 확장 가능한가?

주요 결과

• 수치 결과는 작은 무질서 조건(c ≲ 0.7)에서 웨이브 패킷의 에너지가 원점에서 멀리 퍼져 있음을 보여주며, 이는 동적 비국소화를 시사한다.
• 더 큰 무질서 조건(예: c = 5)에서는 에너지가 원점 근처에 국소화되어 있으며, 기존의 국소화 행동과 일치한다.
• 작은 c에서는 거리에 따라 넓고 볼록한 프로파일을 보이며 확산 운동을 나타내지만, 더 큰 c에서는 날카로운 피크를 가진 분포를 보인다.
• 수치 정밀도에 대해 결과가 견고하며, 더블 정밀도 계산이 결과를 확인했다.
• 이 방법은 최소한의 계산 오버헤드와 경계 영향 없이 2차원 시스템에서 비국소화를 성공적으로 탐지한다.
• 표준 데스크톱 시스템에서 이 방법의 실현 가능성은 메모리가 아닌 계산 시간에 의해 제한되며, 하나의 실현에서 n=2999일 때 약 8.5시간이 소요된다.