[논문 리뷰] A new old class of maximal monotone operators

M. Marques Alves, B. F. Svaiter|ArXiv.org|2008. 05. 29.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 24인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 최대 단조 연산자의 어떤 하나의 피츠제르크 함수의 쌍대 함수가 쌍대 곱을 지배하면, 그 연산자의 모든 피츠제르크 함수가 동일한 성질을 공유함을 증명한다. 주요 기여는 이러한 연산자가 이전에 시몬스에 의해 정의된 클래스 NI를 정확히 이룬다는 것을 증명하고, 이전 연구에서 사용된 기술적 보조 조건이 쌍대 지배 조건과 동치임을 보이는 것이다.

ABSTRACT

In a recent paper in Journal of Convex Analysis the authors studied, in non-reflexive Banach spaces, a class of maximal monotone operators, characterized by the existence of a function in Fitzpatrick's family of the operator which conjugate is above the duality product. This property was used to prove that such operators satisfies a restricted version of Brondsted-Rockafellar property. In this work we will prove that if a single Fitzpatrick function of a maximal monotone operator has a conjugate above the duality product, then all Fitzpatrick function of the operator have a conjugate above the duality product. As a consequence, the family of maximal monotone operators with this property is just the class NI, previously defined and studied by Simons. We will also prove that an auxiliary condition used by the authors to prove the restricted Brondsted-Rockafellar property is equivalent to the assumption of the conjugate of the Fitzpatrick function to majorize the duality product.

연구 동기 및 목표

• 최대 단조 연산자에서 한 개의 피츠제르크 함수의 쌍대 지배 성질이 나머지 모든 피츠제르크 함수의 동일한 성질을 유도하는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 이전 연구에서 제한된 브론스테드-로카르 할성질을 증명하기 위해 사용된 보조 조건과 쌍대 지배 조건 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• 이러한 쌍대 지배 성질을 갖는 최대 단조 연산자의 집합이 시몬스에 의해 정의된 클래스 NI와 정확히 일치함을 보여주기 위해.
• 비반사적 바나흐 공간에서 제한된 브론스테드-로카르 할성질에 관한 이전 결과들을 보다 강화하고 보조 가정에 의존하지 않도록 통합하기 위해.

제안 방법

• 피츠제르크 함수 집합 $\mathcal{F}_T$ 와 그 쌍대 함수를 사용하여 쌍대 곱 지배 조건을 분석한다.
• 함수들 간의 관계를 유지하면서 성질을 보존하는 $\mathcal{J}$-변환 $\mathcal{J}h(x,x^*) = h^*(x^*,x)$ 를 적용한다.
• $\mathcal{F}_T$ 의 상한으로서 $\mathcal{S}_T$-함수를 사용하여 $\mathcal{S}_T^* \geq \pi_*$ 가 쌍대 지배 조건과 동치임을 보인다.
• 한계 근사와 노름 추정을 통해 이전 연구에서 사용된 보조 조건과 쌍대 지배 조건 간의 동치성을 증명한다.
• $\mathcal{S}_T = \operatorname{cl\,conv}(\pi + \delta_T)$ 를 이용하여 핵심 부등식 $\mathcal{S}_T^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*, x^{**} \rangle$ 를 유도한다.
• $\varepsilon$-넷과 노름 추정을 사용한 변형 기법을 적용하여 $g_{(x_0,x_0^*)}(x,x^*) + \frac{1}{2}\|x\|^2 + \frac{1}{2}\|x^*\|^2$ 의 최소값이 0임을 증명함으로써 조건 간의 동치성을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 단조 연산자의 한 피츠제르크 함수의 쌍대 함수가 쌍대 곱을 지배하면, 그 연산자의 모든 피츠제르크 함수도 동일한 성질을 갖는가?
• RQ2 이전 연구에서 제한된 브론스테드-로카르 할성질을 증명하기 위해 사용된 보조 조건은 쌍대 곱을 지배하는 피츠제르크 함수의 쌍대 함수 조건과 동치인가?
• RQ3 쌍대 지배 성질을 갖는 최대 단조 연산자의 집합을 완전히 특성화할 수 있는가?
• RQ4 이러한 연산자 집합은 시몬스에 의해 정의된 클래스 NI와 정확히 일치하는가?
• RQ5 비반사적 바나흐 공간에서 $\mathcal{S}_T$-함수의 쌍대 함수와 쌍대 곱 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 최대 단조 연산자의 한 피츠제르크 함수의 쌍대 함수가 쌍대 곱을 지배하면, 그 연산자의 모든 피츠제르크 함수도 동일한 성질을 갖는다.
• 어느 하나의 피츠제르크 함수의 쌍대 함수가 쌍대 곱을 지배하는 최대 단조 연산자의 집합은 이전에 시몬스에 의해 정의된 클래스 NI와 정확히 일치한다.
• 이전 연구에서 제한된 브론스테드-로카르 할성질을 증명하기 위해 사용된 보조 조건은 피츠제르크 함수의 쌍대 함수가 쌍대 곱을 지배하는 조건과 동치이다.
• $\mathcal{S}_T^* \geq \pi_*$ 가 성립하는 것은 정확히 연산자가 (NI) 유형임을 의미하며, 이는 핵심 특성화 조건을 제공한다.
• 노름 추정과 변형 기법을 통해 쌍대 지배, $\mathcal{S}_T$-함수, 제한된 브론스테드-로카르 할성질을 포함하는 네 조건 간의 동치성이 증명되었다.
• $X \times X^*$ 에서 $g_{(x_0,x_0^*)}(x,x^*) + \frac{1}{2}\|x\|^2 + \frac{1}{2}\|x^*\|^2$ 의 최소값이 0임을 증명한 것은 조건 간의 동치성을 증명하는 데 핵심적인 단계이다.