[논문 리뷰] A new perspective on the fundamental theorem of asset pricing for large financial markets

Christa Cuchiero, Irene Klein외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 42

한 줄 요약

이 논문은 기하급수적으로 많은 자산을 가진 대규모 금융시장에서 기존의 점점 더 추상적인 점근적 아웃리처 조건들보다 더 경제적으로 직관적인 대안으로, 위험 감소를 동반한 점근적 자유시장 없음 조건(NAFLVR)을 도입한다. Emery 위상과 일반화된 허용 전략을 활용하여, NAFLVR가 분리 측도의 존재와 동치임을 증명함으로써, 대규모 시장 환경에서의 자산가격 결정 기본정리(Fundamental Theorem of Asset Pricing, FTAP)의 강력한 형태를 수립한다. 또한 이러한 측도가 조건수열의 경우조차도 σ-마르팅게일 측도를 보장하지는 않음을 보여준다.

ABSTRACT

In the context of large financial markets we formulate the notion of \\emph{no asymptotic free lunch with vanishing risk} (NAFLVR), under which we can prove a version of the fundamental theorem of asset pricing (FTAP) in markets with an (even uncountably) infinite number of assets, as it is for instance the case in bond markets. We work in the general setting of admissible portfolio wealth processes as laid down by Y. Kabanov \\cite{kab:97} under a substantially relaxed concatenation property and adapt the FTAP proof variant obtained in \\cite{CT:14} for the classical small market situation to large financial markets. In the case of countably many assets, our setting includes the large financial market model considered by M. De Donno et al. \\cite{DGP:05} and its abstract integration theory. The notion of (NAFLVR) turns out to be an economically meaningful "no arbitrage" condition (in particular not involving weak-$*$-closures), and, (NAFLVR) is equivalent to the existence of a separating measure. Furthermore we show -- by means of a counterexample -- that the existence of an equivalent separating measure does not lead to an equivalent $\\sigma$-martingale measure, even in a countable large financial market situation.

연구 동기 및 목표

• 무한히 많은 자산을 가진 대규모 금융시장에서 경제적으로 의미 있는 무아웃리처 조건이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 소규모 시장에서의 NFLVR 조건을 모방하는 더 직관적이고 경제적으로 해석 가능한 조건인 NAFLVR로, 기존의 약한-* 수렴 기반의 NAFL 조건을 대체하기 위해.
• 더 이상의 연결성 및 허용성 조건을 완화한 조건 하에서 대규모 시장에서 자산가격 결정 기본정리(FTAP)의 버전을 수립하기 위해.
• 분리 측도의 존재와 σ-마르팅게일 측도의 존재 간의 관계를 명확히 하여, 이들이 동치가 아니라는 점을 밝히기 위해.

제안 방법

• 유한(소규모) 시장 내 포지션들의 수열이 Emery 위상에서 수렴하는 방식으로 일반화된 허용 포트폴리오 wealth 과정을 수학적으로 정의한다.
• NAFLVR 조건을, 0 가격에서 초과복제 가능한 유한한 수익의 집합의 폐쇄가 비음수 유한 랜덤 변수 집합과 오직 0에서만 겹치는 조건으로 정의한다.
• Emery 위상과 포트폴리오 wealth 과정에 대한 완화된 연결성 성질을 활용하여, 소규모 시장에서의 고전적 NFLVR 증명 전략을 대규모 시장으로 확장한다.
• 대규모 시장 환경에서 Kreps-Yan 정리 프레임워크를 응용하여 NAFLVR와 등가 분리 측도의 존재를 연결한다.
• 반례를 제시하여, 분리 측도의 존재가 조건수열의 대규모 시장 조건에서도 σ-마르팅게일 측도의 존재를 보장하지는 않음을 보여준다.
• 수렴성 및 안정성 결과를 확립하기 위해 (P-UT) 성질, 전방 볼록 조합, 초과마르팅게일 디플레이터와 같은 기술적 도구를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대규모 금융시장에서 NAFL보다 더 경제적으로 해석 가능한 무아웃리처 조건이 존재하는가?
• RQ2 무한히 많은 자산을 가진 대규모 시장에서 더 약한 가정 하에 고전적 FTAP를 확장할 수 있는가?
• RQ3 대규모 시장에서 분리 측도의 존재가 σ-마르팅게일 측도의 존재를 의미하는가?
• RQ4 Emery 위상은 대규모 시장에서 일반화된 포트폴리오를 어떻게 모델링하는 데 기여하는가?
• RQ5 대규모 금융시장 맥락에서 NAFLVR, NUPBR, 그리고 NA 간의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• NAFLVR는 대규모 금융시장에서 등가 분리 측도의 존재와 동치이며, 자산가격 결정 기본정리에 대한 강력한 기반을 제공한다.
• NAFLVR 조건은 이전의 점근적 무아웃리처 조건들과 달리 L∞에서의 약한-* 수렴에 의존하지 않아 경제적으로 의미 있는 조건이다.
• NAFLVR 조건은 NUPBR(유한한 위험으로 무한한 이익을 얻을 수 없음)와 NA(대규모 시장에서의 무아웃리처)의 결합과 동치이며, 소규모 시장에서의 NFLVR 분해와 유사하다.
• 반례를 통해 분리 측도의 존재가 조건수열의 대규모 시장 설정에서도 σ-마르팅게일 측도의 존재를 보장하지는 않음을 보여준다.
• NUPBR 조건을 만족하는 세미마르팅게일 수열에 대해 (P-UT) 성질이 성립하여, Emery 위상 하에서 균일한 타이트성과 수렴 안정성을 확보한다.
• NUPBR 조건 하에서 포트폴리오 wealth 과정 집합에 대해 초과마르팅게일 디플레이터가 존재하며, 이는 소규모 시장에서의 기존 결과를 대규모 시장으로 확장한 것이다.