[논문 리뷰] A New Perspective on the Windows Scheduling Problem

Tobias Jacobs, Salvatore Longo|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 27.

Real-Time Systems Scheduling참고 문헌 16인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 정확한 주기로 설정된 윈도우 스케줄링 문제를 재구성하기 위한 새로운 조합적 프레임워크인 부분 인코딩 문제를 제안한다. 이는 두 문제 간 다항시간 환산을 가능하게 하며, 기존의 복잡도 문제를 재정의한다. 주요 기여는 표준 복잡도 가정 하에 단일 머신에서 단위 길이 작업의 스케줄링이 의사 다항시간으로 수행될 수 없음을 증명하는 것이며, 작업 이식이 가능한 다중 머신 케이스가 co-NP-난이도임을 입증함으로써 오랫동안 미해결이었던 열린 질문들을 해결한다.

ABSTRACT

The Windows Scheduling Problem, also known as the Pinwheel Problem, is to schedule periodic jobs subject to their processing frequency demands. Instances are given as a set of jobs that have to be processed infinitely often such that the time interval between two consecutive executions of the same job j is no longer than the job's given period $p_j$. The key contribution of this work is a new interpretation of the problem variant with exact periods, where the time interval between consecutive executions must be strictly $p_j$. We show that this version is equivalent to a natural combinatorial problem we call Partial Coding. Reductions in both directions can be realized in polynomial time, so that both hardness proofs and algorithms for Partial Coding transfer to Windows Scheduling. Applying this new perspective, we obtain a number of new results regarding the computational complexity of various Windows Scheduling Problem variants. We prove that even the case of one processor and unit-length jobs does not admit a pseudo-polynomial time algorithm unless SAT can be solved by a randomized method in expected quasi-polynomial time. This result also extends to the case of inexact periods, which answers a question that has remained open for more than two decades. Furthermore, we report an error found in a hardness proof previously given for the multi-machine case without machine migration, and we show that this variant reduces to the single-machine case. Finally, we prove that even with unit-length jobs the problem is co-NP-hard when jobs are allowed to migrate between machines.

연구 동기 및 목표

• 정확한 주기로 설정된 윈도우 스케줄링 문제를 새로운 조합 모델인 부분 인코딩으로 재구성함으로써, 새로운 복잡도 및 알고리즘 통찰을 가능하게 한다.
• 윈도우 스케줄링 문제와 부분 인코딩 문제 간에 양방향 다항시간 환산을 수립한다.
• 단일 머신에서 단위 길이 작업을 고려한 경우와 작업 이식이 가능한 다중 머신 케이스에 대한 열린 복잡도 질문을 해결한다.
• 작업 이식이 가능한 다중 머신 윈도우 스케줄링 문제의 co-NP-난이도를 입증하며, 이는 단위 길이 작업에 대해서도 성립한다.
• 이전에 발표된 비이식 가능한 다중 머신 케이스에 대한 난이도 증명의 오류를 수정하고, 이 경우가 단일 머신 케이스로 환원됨을 보여준다.

제안 방법

• 기호가 값의 범위를 갖는 속성들을 통해 인코딩되고, 동일한 속성 값을 공유할 경우에만 구별 가능하다는 조건을 갖는 조합적 추상화로 부분 인코딩 문제를 정의한다.
• 윈도우 스케줄링의 작업 시작 시간과 부분 인코딩의 기호 인코딩 간 이항 대응 관계를 구축하여, 작업 충돌이 정확히 구별 불가능한 기호 쌍에 대응되도록 한다.
• 작업 주기의 상대적 소수 분해를 활용하여 스케줄링 인스턴스를 소수 범위를 갖는 속성 값으로 갖는 부분 인코딩 인스턴스로 매핑한다.
• $(m+1)$-독립 집합 문제를 $m$-항 부분 인코딩 문제로 다항시간 변환하여, co-NP-난이도를 입증한다.
• 부분 인코딩과 윈도우 스케줄링 간의 동치성을 활용하여, 두 문제 간 난이도 결과와 알고리즘 통찰을 상호 전이한다.
• 단일 머신에서 단위 길이 작업을 고려한 경우, SAT 문제가 랜덤화된 준다항시간 해법을 갖는다고 가정할 경우에만 의사 다항시간 알고리즘이 존재하지 않음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확한 주기로 설정된 윈도우 스케줄링 문제는 새로운 조합 문제로 재구성될 수 있으며, 이를 통해 새로운 복잡도 및 알고리즘 통찰을 이끌어낼 수 있는가?
• RQ2 표준 복잡도 가정 하에 단일 머신에서 단위 길이 작업을 고려한 윈도우 스케줄링 문제는 의사 다항시간으로 해결 가능한가?
• RQ3 작업 이식이 가능한 다중 머신 윈도우 스케줄링 문제의 co-NP-난이도는 단위 길이 작업에 대해서도 성립하는가?
• RQ4 비이식 가능한 다중 머신 변형은 단일 머신 케이스로 환원되며, 이전에 주장된 난이도 증명은 타당한가?
• RQ5 부분 인코딩 프레임워크를 활용하여 윈도우 스케줄링의 특수 케이스에 대한 새로운 근사 알고리즘 또는 긍정적 결과를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 정확한 주기로 설정된 윈도우 스케줄링 문제는 양방향 다항시간 환산을 통해 부분 인코딩 문제와 동치임을 입증한다.
• 단일 머신에서 단위 길이 작업을 고려한 윈도우 스케줄링 문제에는 표준 복잡도 가정 하에 의사 다항시간 알고리즘이 존재하지 않으며, 이는 SAT 문제가 랜덤화된 준다항시간 알고리즘으로 해결 가능할 경우에만 성립한다.
• 작업 이식이 가능한 다중 머신 윈도우 스케줄링 문제는 단위 길이 작업에 대해서도 co-NP-난이도임을 입증하여 강력한 복잡도 장벽을 설정한다.
• 이 설정 하에서 문제는 NP-난이도이자 co-NP-난이도이므로, NP = co-NP가 성립하지 않는 한 NP 또는 co-NP에 속하지 않는다.
• 이전에 비이식 가능한 다중 머신 케이스에 대한 난이도 증명은 잘못되었으며, 이 경우는 단일 머신 케이스로 환원됨을 보였다.
• 부분 인코딩 프레임워크는 향후 근사 알고리즘 개발 및 고정된 수의 서로 다른 작업 유형을 갖는 인스턴스에 대한 효율적 해결 방법 개발의 기초가 된다.