[논문 리뷰] A new quantum version of f-divergence

Keiji Matsumoto|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 19.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 22인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 역 테스트(완전히 양성 추적 보존 사상)를 통해 주어진 양자 상태 쌍을 생성할 수 있는 데 필요한 최소 고전적 f-발산의 정의로 새로운 양자 f-발산 $\mathrm{D}_{f}^{ ext{max}}(\rho\|\sigma)$를 제안한다. 주요 기여는 $f$가 연산자 볼록이거나 한 상태가 순수일 경우 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}$의 닫힌 형태 표현을 도출한 것으로, 측정에 의해 유도된 f-발산이 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}$보다 엄격히 작다는 것을 증명하여, 양자 인코딩 과정에서 고전적 발산의 복구 불가능한 손실을 밝혀낸다.

ABSTRACT

This paper proposes and studies new quantum version of $f$-divergences, a class of convex functionals of a pair of probability distributions including Kullback-Leibler divergence, Rnyi-type relative entropy and so on. There are several quantum versions so far, including the one by Petz. We introduce another quantum version ($\mathrm{D}_{f}^{\max}$, below), defined as the solution to an optimization problem, or the minimum classical $f$- divergence necessary to generate a given pair of quantum states. It turns out to be the largest quantum $f$-divergence. The closed formula of $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ is given either if $f$ is operator convex, or if one of the state is a pure state. Also, concise representation of $\mathrm{D}_{f}^{\max}$ as a pointwise supremum of linear functionals is given and used for the clarification of various properties of the quality. Using the closed formula of $\mathrm{D}_{f}^{\max}$, we show: Suppose $f$ is operator convex. Then the\ maximum $f\,$- divergence of the probability distributions of a measurement under the state $ρ$ and $σ$ is strictly less than $\mathrm{D}_{f}^{\max}\left( ρ\Vertσ ight) $. This statement may seem intuitively trivial, but when $f$ is not operator convex, this is not always true. A counter example is $f\left( λ ight) =\left\vert 1-λ ight\vert $, which corresponds to total variation distance. We mostly work on finite dimensional Hilbert space, but some results are extended to infinite dimensional case.

연구 동기 및 목표

• 모든 가능한 양자 f-발산 중에서 최대가 되는 새로운 양자 f-발산을 정의하는 것.
• 역 테스트(고전적 분포에서 $\rho, \sigma$를 생성하는 CP 사상 포함)를 포함하는 최적화 문제의 해로서 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}(\rho\|\sigma)$를 특성화하는 것.
• 연산자 볼록이거나 한 상태가 순수일 경우 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}$의 닫힌 형태 표현을 확립하는 것.
• 측정에 의해 발생하는 f-발산이 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}$에 의해 엄격히 상한을 받는다는 것을 보여주어, 양자 인코딩 과정에서 고전적 발산의 복구 불가능한 손실을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 역 테스트(고전적 분포 $p, q$에서 $\rho, \sigma$를 생성하는 CP 사상)를 통해 생성 가능한 모든 경우에 대해 고전적 f-발산 $\mathrm{D}_{f}(p\|q)$의 하한으로서 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}(\rho\|\sigma)$를 정의한다.
• 스펙트럼 분해와 비가환적 시각화 기법을 사용하여, $f$가 연산자 볼록이면서 $\sigma$가 블록 대각형이면서 영 블록을 포함할 경우 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}$의 닫힌 형태 표현을 유도한다.
• 측도 공간 위에서 선형 함수들의 점별 최대값으로 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}$를 표현하여, 쌍대성 기반 분석이 가능하도록 한다.
• 연산자 볼록인 $f$에 대해, 쌍대성과 추적 클래스 성질을 이용하여, 모든 측정에 대해 얻을 수 있는 최대 f-발산이 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}(\rho\|\sigma)$보다 엄격히 작다는 것을 증명한다.
• 한 상태가 순수일 경우로 결과를 확장하여, 연산자 볼록성 조건을 초월한 닫힌 형태 표현을 일반화한다.
• 함수 해석학과 연산자 볼록성 정리(예: [2], [3], [12])를 활용하여 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}$의 구조를 정당화하고, $f$의 애핀 변환에 대한 불변성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 양자 상태 쌍으로부터 도달할 수 있는 최대 가능한 양자 f-발산은 무엇인가?
• RQ2 측정에 의해 유도된 f-발산은 최대 양자 f-발산 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}$와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 연산자 볼록이거나 한 상태가 순수일 경우 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}$의 닫힌 형태 표현을 도출할 수 있는가?
• RQ4 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}$는 $f$의 애핀 변환에 대해 불변인가? 이는 그 운영적 의미에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 역 테스트(CP 사상)는 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}$를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가? 즉, $\rho, \sigma$를 생성하기 위해 필요한 최소 고전적 f-발산으로서 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}$를 특성화하는 데 어떤 기여를 하는가?

주요 결과

• 연산자 볼록인 $f$에 대해 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}(\rho\|\sigma)$는 다음과 같은 닫힌 형태로 표현된다: $\mathrm{tr}\,\sigma\,f(\sigma^{-1/2}\tilde{\rho}\sigma^{-1/2}) + \mathrm{tr}(\rho - \tilde{\rho})\lim_{\varepsilon \downarrow 0} \varepsilon f(1/\varepsilon)$, 여기서 $\tilde{\rho}$는 $\sigma$에 대한 $\rho$의 슈어 여수이다.
• 최적의 역 테스트로 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}$를 달성하는 것은, 비틀림이 없는 경우를 제외하고 유일하며, $f$가 연산자 볼록이면 $f$의 종속성 없이 독립적이다.
• 연산자 볼록인 $f$에 대해, 모든 측정에 대해 얻을 수 있는 최대 f-발산은 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}(\rho\|\sigma)$보다 엄격히 작다. 이는 양자 인코딩 과정에서 고전적 발산의 복구 불가능한 손실을 보여준다.
• $f(r) = |1 - r|$는 연산자 볼록이 아니지만, 측정에 의해 유도된 f-발산이 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}$와 동일할 수 있음을 보여주며, 엄격한 부등식을 확보하기 위해 연산자 볼록성 조건이 필수적임을 시사한다.
• $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}(\rho\|\sigma)$는 선형 함수들의 점별 최대값으로 표현될 수 있으며, 이는 쌍대성 기반 분석과 핵심 성질의 증명을 가능하게 한다.
• $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}$는 애핀 불변성을 만족한다: $f_1(r) = f(r) - ar - b \geq 0$ 이면 $\mathrm{D}_{f}^{\text{max}}(\rho\|\sigma) = \mathrm{D}_{f_1}^{\text{max}}(\rho\|\sigma) + a\mathrm{tr}\rho + b\mathrm{tr}\sigma$이며, 이는 그 운영적 의미를 유지한다.