[논문 리뷰] A new Quillen model for the Morita homotopy theory of DG categories

Gonçalo Tabuada|ArXiv.org|2007. 01. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 6인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 드린펠트의 DG 몫과 국소화 쌍 구축을 이용하여 국소화 쌍의 범주 (Lp) 위에 새로운 쿠일렌 모델 구조를 도입하며, 닫힘 대칭 모노이드 구조를 수립한다. 주요 기여는 DG 범주의 호모토피 범주에서 툰의 내부 함자 Hom을 이 새로운 모델에서의 총 우측 유도 내부 함자 Hom으로 재해석함으로써, 표준적인 dgcat 모델이 대칭 모노이드 구조를 지원하지 못하는 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We construct a new Quillen model, based on the notions of Drinfeld's DG quotient and localization pair, for the Morita homotopy theory of DG categories. This new Quillen model carries a natural closed symmetric monoidal structure and allows us to re-interpret Toen's construction of the internal Hom-functor for the homotopy category of DG categories as a total right derived internal Hom-functor.

연구 동기 및 목표

• 표준적인 dgcat 모델 구조가 대칭 모노이드 모델 범주가 아니므로 호모토피 범주에서 잘 정의된 내부 함자가 존재하지 않는 문제를 해결하기 위해.
• 닫힘 대칭 모노이드 구조를 지원하는 국소화 쌍의 범주 (Lp) 위에 새로운 쿠일렌 모델 구조를 구성하기 위해.
• 이 새로운 모델에서의 유도된 텐서 곱과 내부 함자가 Ho(dgcat)에서 툰의 구조와 대응됨을 보이기 위해.
• 툰의 rep_dg 함자를 이 새로운 Lp 모델에서의 총 우측 유도 내부 함자 Hom으로 재해석하기 위해.

제안 방법

• 드린펠트의 명시적 DG 몫 구축을 이용하여 국소화 쌍의 범주 Lp 위에 쿠일렌 모델 구조를 구성하기 위해.
• Lp 위에 텐서 곱과 내부 함자를 정의하고, 이들이 도이드러프런터 함수임을 보이기 위해.
• 평가 및 자유 함자들을 통해 새로운 Lp 모델과 표준 dgcat 모델 사이의 쿠일렌 동치를 확립하기 위해.
• dg 범주에서의 호모토피 당김과 길 객체를 이용하여 P(B)의 내부 함자를 정의하기 위해.
• dg 함자 B → B/B_contr 가 모리타 동치임을 이용하여 쿠일렌 동치를 증명하기 위해.
• Lp에서의 유도된 내부 함자 Hom이 Lp 내의 약한 동치의 지그재그를 통해 F(rep_dg(A,B))가 Ho(Lp)에서 RHom(F(A),F(B))와 동치임을 보이기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소화 쌍 위에 텐서 곱과 내부 함수가 도이드러프런터 함수가 되는 쿠일렌 모델 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 새로운 Lp 모델 구조는 자연스러운 닫힘 대칭 모노이드 구조를 지닌다?
• RQ3 이 새로운 모델에서의 유도된 내부 함자가 Ho(dgcat)에서 툰의 rep_dg 함수와 동치인가?
• RQ4 dgcat가 대칭 모노이드 모델 범주가 아니라는 결함은 쿠일렌 동치 모델을 통해 보완될 수 있는가?

주요 결과

• Lp 위의 새로운 쿠일렌 모델 구조는 표준 dgcat 모델과 쿠일렌 동치이며, 이는 그들의 호모토피 범주 간의 호모토피 동치를 수립한다.
• 범주 Lp는 자연스러운 닫힘 대칭 모노이드 구조를 지닌다. 이는 dgcat가 이러한 성질을 갖지 못하는 문제를 해결한다.
• Ho(Lp)에서의 유도된 텐서 곱은 Ho(dgcat)에서의 표준 유도된 텐서 곱과 대응된다.
• Ho(Lp)에서의 유도된 내부 함자 Hom 함수 RHom은 Ho(dgcat)에서 툰의 rep_dg 함수와 정확히 일치한다. 이를 통해 이를 총 우측 유도 함자 Hom으로 재해석한다.
• 체 위에서 평탄성과 코프라미티 조건을 확보하기 위해 드린펠트의 DG 몫과 국소화 쌍 형식을 사용한다.
• F(rep_dg(A,B))와 Ho(Lp)에서 RHom(F(A),F(B))가 Lp 내의 약한 동치의 지그재그를 통해 동치임을 보이기 위해 증명에 기반한다.