[논문 리뷰] A new regression model for positive data

Marcelo Bourguignon, Manoel Santos‐Neto외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 20.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 평균과 정밀도 파라미터를 기반으로 한 베타 프라임(BP) 분포의 새로운 파arameterization을 사용하여 정규 연속 데이터를 위한 새로운 회귀 모델을 제안한다. 이 모델은 이차 분산 함수를 특징으로 하며, 평균과 정밀도에 대해 별도의 회귀 구조를 허용하고, 지수족 모델에 비해 비대칭 데이터에 대해 향상된 유연성을 제공한다. 추정은 최대우도법을 통해 이루어지고, 영향도 분석을 위한 진단 도구도 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we propose a regression model where the response variable is beta prime distributed using a new parameterization of this distribution that is indexed by mean and precision parameters. The proposed regression model is useful for situations where the variable of interest is continuous and restricted to the positive real line and is related to other variables through the mean and precision parameters. The variance function of the proposed model has a quadratic form. In addition, the beta prime model has properties that its competitor distributions of the exponential family do not have. Estimation is performed by maximum likelihood. Furthermore, we discuss residuals and influence diagnostic tools. Finally, we also carry out an application to real data that demonstrates the usefulness of the proposed model.

연구 동기 및 목표

• 비대칭이고 0에서 멀리 떨어진 정규 연속 반응 변수를 위한 민감한 회귀 모델을 개발하기 위해.
• 데이터가 높은 비대칭성 또는 비선형 분산 구조를 보일 때 일반화선형모형(GLMs)의 한계를 해결하기 위해.
• 해당 모델의 해석성과 모델링의 유연성을 향상시키기 위해 평균과 정밀도 파라미터를 사용한 베타 프라임 분포의 새로운 파arameterization을 제안하기 위해.
• 평균 및 정밀도 파라미터에 대해 별도의 회귀 구조를 허용하여 모델의 적응 능력을 향상시키기 위해.
• 최대우도 추정, 잔차, 국소 영향도 진단을 포함한 강력한 추론 도구를 제공하기 위해.

제안 방법

• 형태 파라미터 $\alpha$ 및 $\beta$ 대신 평균 $\mu$ 와 정밀도 $\phi$ 파라미터를 사용하여 베타 프라임(BP) 분포의 새로운 파arameterization을 제안한다.
• BP 분포의 확률밀도함수(PDF)를 $\mu$ 와 $\phi$ 에 대해 유도하여 평균과 정밀도를 직접 모델링할 수 있도록 한다.
• 반응 변수 $Y_i$ 가 평균 $\mu_i$ 와 정밀도 $\phi_i$ 를 가지며, 이 둘 모두가 링크 함수 $g_1$ 과 $g_2$ 를 통해 예측 변수와 연결된 회귀 모델을 구축한다.
• 이탈리케이션 알고리즘을 사용하여 우도 방정식을 푸는 최대우도추정(MLE)을 활용하여 모수 추론을 수행한다.
• 모형 적합도 평가 및 영향력 있는 관측치 탐지에 위해 잔차와 국소 영향도 진단을 개발한다.
• 회귀자, 정밀도 예측 변수, 동시 변화를 포함한 펌터베이션 계획을 적용하여 영향도 측정치를 유도하며, 이는 펌터베이션 행렬 $\widehat{\mathbf{\Delta}}$ 를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 베타 프라임 분포의 새로운 파arameterization이 비대칭성을 보이는 정규 연속 데이터에 대한 모델링의 유연성을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 평균과 정밀도의 회귀 구조를 갖는 제안된 회귀 모델이 비대칭 정규 양의 데이터에 대해 표준 GLMs에 비해 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ3 다양한 펌터베이션 계획이 모형 내 예측 변수의 영향에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 제안된 잔차와 국소 영향도 진단 도구는 영향력 있는 관측치를 탐지하는 데 얼마나 효과적인가?
• RQ5 BP 모형의 이차 분산 함수가 지수족 모델의 표준 분산 함수보다 더 나은 적합도를 제공하는가?

주요 결과

• 제안된 모형은 $\text{Var}(Y_i) = \mu_i^2(1 + \mu_i)\phi_i^{-1}$ 형태의 이차 분산 함수를 보이며, 표준 GLMs에서 제공하지 않는 복잡한 이방분산 패턴을 포착한다.
• 평균과 정밀도를 기반으로 한 새로운 파arameterization은 해석성을 향상시키고, 위치와 분산을 별도로 모델링할 수 있도록 한다.
• 최대우도추정은 제안된 모형에서 실현 가능하고 효과적이며, 반복 알고리즘을 통해 수렴이 달성된다.
• 잔차와 국소 영향도 측정치를 포함한 진단 도구는 성공적으로 유도되었고, 영향력 있는 관측치 탐지에 적용되었다.
• 실제 데이터에의 적용은 특히 매우 비대칭인 정규 양의 데이터에 대해 경쟁 모델들에 비해 뛰어난 적합도와 유연성을 보였다.
• 펌터베이션 기반의 영향도 분석을 통해 $\widehat{\mathbf{\Delta}}$ 행렬을 사용하여 다양한 펌터베이션 계획 하에서 영향력 있는 사례를 효과적으로 식별하였다.