[논문 리뷰] A New Representation for the Symbol Error Rate

Adithya Rajan, Cihan Tepedelenlioğlu|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 14.

Advanced Wireless Communication Techniques참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 추가 백색 가우시안 노이즈(AWGN) 및 복합 가우시안 노이즈 하에서 임의의 다차원 변조망에 대해 신호 대 잡음비(SNR)의 비음수 거듭제곱과 완전 감소 함수의 곱으로 표현된 신호 오차율(SER)의 새로운 표현을 제안한다. 주요 기여는 변조망 행렬의 질량에 기반한 SER 완전 감소성에 대한 필요 및 충분 조건을 제시함으로써, fading 채널에서의 확률적 순서 정렬과 SER 분석을 단순화시킨다.

ABSTRACT

The symbol error rate of the minimum distance detector for an arbitrary multi-dimensional constellation impaired by additive white Gaussian noise is characterized as the product of a completely monotone function with a non-negative power of the signal to noise ratio. This representation is also shown to apply to cases when the impairing noise is compound Gaussian. Using this general result, it is proved that the symbol error rate is completely monotone if the rank of its constellation matrix is either one or two. Further, a necessary and sufficient condition for the complete monotonicity of the symbol error rate of a constellation of any dimension is also obtained. Applications to stochastic ordering of wireless system performance are also discussed.

연구 동기 및 목표

• AWGN 및 복합 가우시안 노이즈 하에서 임의의 다차원 변조망의 신호 오차율(SER)을 통합 분석 프레임워크를 통해 특성화하는 것.
• SER가 완전 감소 함수임을 보장하는 조건을 설정하여, fading 채널에서의 평균 SER 분석과 확률적 순서 정렬에 핵심적인 성질을 확보하는 것.
• 기존의 1차원 및 2차원 변조망에 대한 SER 볼록성 및 완전 감소성 결과를 임의의 차원으로 일반화하는 것.
• SER의 완전 감소성에 기반하여, 폐쇄형 SER 표현이 필요 없이 quasi-static fading 채널에서의 평균 SER를 비교할 수 있는 새로운 확률적 순서 $\mathscr{G}_p$ 를 개발하는 것.
• 폐쇄형 SER 표현이 필요 없이 평균 SER 표현 유도를 용이하게 하는 SER의 표준형 표현을 제공하는 것.

제안 방법

• SER를 $ P_{\text{e}}(\rho) = \rho^p \int_0^\infty e^{-\rho u} \mu(u) \, du $ 로 표현하며, 여기서 $ \mu(u) $ 는 비음수이며 변조망 기하학적 구조와 최소 거리에 의존한다.
• 라플라스 변환 표현을 통해 완전 감소 함수 이론을 활용하여 SER의 감소성 성질을 특성화한다.
• 변조망 행렬의 질량에 기반한 SER 완전 감소성에 대한 필요 및 충분 조건을 유도: SER는 질량이 1 또는 2일 때에만 완전 감소 함수이다.
• SER 표현을 메디슨 클래스-A 및 대칭 알파-스테이블 노이즈를 포함한 비가우시안 분포를 포함한 복합 가우시안 노이즈로 일반화한다.
• 모든 $ \rho \geq 0 $ 에 대해 $ \mathbb{E}[X_1^p e^{-\rho X_1}] \geq \mathbb{E}[X_2^p e^{-\rho X_2}] $ 를 만족하는 새로운 확률적 순서 $\mathscr{G}_p$ 를 정의하여, 다양한 fading 분포 간의 SER 비교를 가능하게 한다.
• 베르슈타인 정리를 적용하여 SER의 완전 감소성과 관련 측도 $ \mu(u) $ 의 양수성 간의 연관성을 확립함으로써 분석의 취급 용이성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 다차원 변조망의 SER가 SNR에 대해 언제 완전 감소 함수가 되는가?
• RQ2 SER 표현은 AWGN를 초월하여 복합 가우시안 노이즈 모델로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 변조망 행렬의 질량은 SER의 완전 감소성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 quasi-static fading 채널에서 임의의 변조망의 평균 SER를 비교하기 위해 어떤 확률적 순서를 사용할 수 있는가?
• RQ5 SER는 감쇠 지수의 양수 조합으로 표현될 수 있으며, 이는 fading 채널에서의 평균 SER 분석에 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• AWGN 하에서 어떤 다차원 변조망의 SER도 $ \rho^p \int_0^\infty e^{-\rho u} \mu(u) \, du $ 로 표현될 수 있으며, 여기서 $ \mu(u) \geq 0 $ 이다. 이는 표준형 표현을 확립한다.
• SER가 완전 감소 함수임은 변조망 행렬의 질량이 1 또는 2일 때에만 성립하며, 이는 완전 감소성에 대한 필요 및 충분 조건을 제공한다.
• 질량이 2를 초과하는 변조망의 경우, 완전 감소성은 질량 외에 구체적인 변조망 기하학적 구조와 사전 확률에 의존한다.
• SER 표현은 메디슨 클래스-A 및 대칭 알파-스테이블 노이즈를 포함한 복합 가우시안 노이즈로 일반화되어 적용 범위를 넓혔다.
• 새로운 확률적 순서 $\mathscr{G}_p$ 가 도입되어, 폐쇄형 SER 표현이 없더라도 다양한 fading 분포 간의 평균 SER 비교가 가능해졌다.
• 고 SNR 영역에서 $ \rho \geq 4(p + \sqrt{p}) / d_{\text{min}}^2 $ 일 때 SER의 이阶도는 비음수이며, 일반적인 변조망에 대해 고 SNR 영역에서의 볼록성을 확인한다.