[논문 리뷰] A new S-type eigenvalue localization set for tensors and its applications

Zhengge Huang, Ligong Wang외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 24.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 색인 집합을 상호배타적인 부분집합 S와 그 여집합으로 분할하여 새로운 S형 고유값 국소화 집합을 제안한다. 이는 기존 방법보다 더 날카운 고유값 집합을 제공하며, 비음성 텐서의 스펙트럼 반경과 약하게 기약적인 강한 M-텐서의 최소 H-고유값에 대해 더 날카운 경계를 제공한다. 수치 예제를 통해 Li 등과 He 및 Huang의 이전 작업에 비해 개선된 정확도를 확인하였다.

ABSTRACT

A new \emph{S}-type eigenvalue localization set for tensors is derived by breaking $N=\{1,2,\cdots,n\}$ into disjoint subsets $S$ and its complement. It is proved that this new set is tighter than those presented by Qi (Journal of Symbolic Computation 40 (2005) 1302-1324), Li et al. (Numer. Linear Algebra Appl. 21 (2014) 39-50) and Li et al. (Linear Algebra Appl. 493 (2016) 469-483). As applications, checkable sufficient conditions for the positive definiteness and the positive semi-definiteness of tensors are proposed. Moreover, based on this new set, we establish a new upper bound for the spectral radius of nonnegative tensors and a lower bound for the minimum \emph{H}-eigenvalue of weakly irreducible strong \emph{M}-tensors in this paper. We demonstrate that these bounds are sharper than those obtained by Li et al. (Numer. Linear Algebra Appl. 21 (2014) 39-50) and He and Huang (J. Inequal. Appl. 114 (2014) 2014). Numerical examples are also given to illustrate this fact.

연구 동기 및 목표

• 기존 문헌에서 제안된 집합들보다 더 날카운 텐서의 새로운 고유값 국소화 집합을 개발하는 것.
• 새로운 국소화 집합을 사용하여 텐서의 양(반)정부호성에 대한 확인 가능한 충분조건을 제공하는 것.
• 비음성 텐서의 스펙트럼 반경과 약하게 기약적인 강한 M-텐서의 최소 H-고유값에 대해 개선된 상한 및 하한 경계를 유도하는 것.
• 기존 방법과 비교하여 수치 예제를 통해 새로운 경계의 우수성을 입증하는 것.

제안 방법

• 색인 집합 N = {1, 2, ..., n}을 두 개의 상호배타적 부분집합 S와 그 여집합 S̄로 분할하여 새로운 S형 고유값 국소화 집합 Υ^S(𝒜)를 구성하는 방법.
• 대각 지배 구조를 활용하고 행 합 R_i(𝒜), r_i^S(𝒜), r_i^S̄(𝒜)를 정의하여 국소화 영역을 정밀화하는 방법.
• a_k⋯k, a_l⋯l 및 잔여항 r_i^S(𝒜), r_i^S̄(𝒜)를 포함한 부등식을 활용하여 강한 M-텐서의 고유값 실수부의 최소값 τ(𝒜)에 대한 하한을 도출하는 방법.
• 고유값 방정식에서 유도된 이차 부등식이 핵심이며, λ_k,l^1/2(𝒜)를 포함한 최대-최소 표현식을 통해 경계를 강화하는 방법.
• 부분집합에 의존하는 잔여항을 통합하고 텐서 원소의 구조적 대칭성을 활용하여 이전의 국소화 집합을 일반화하는 방법.
• 이론적 증명을 통해 Υ^S(𝒜) ⊆ Ω^S(𝒜) ⊆ 𝒦^S(𝒜) ⊆ 𝒦(𝒜) ⊆ Γ(𝒜)임을 확인하여 그 날카운 정도를 입증하는 방법.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Qi (2005), Li 등 (2014), He 및 Huang (2014)의 방법과 같은 기존 집합들보다 더 날카운 새로운 S형 고유값 국소화 집합을 구성할 수 있는가?
• RQ2 새로운 국소화 집합을 어떻게 활용하여 비음성 텐서의 스펙트럼 반경에 대해 개선된 경계를 도출할 수 있는가?
• RQ3 약하게 기약적인 강한 M-텐서의 최소 H-고유값에 대해 기존 방법보다 더 날카운 하한 경계를 얻을 수 있는가?
• RQ4 부분집합 선택 S가 도출된 경계의 날카움에 미치는 영향은 무엇이며, 최적의 S는 어떻게 선택할 수 있는가?

주요 결과

• 새로운 S형 고유값 국소화 집합 Υ^S(𝒜)는 Qi (2005), Li 등 (2014), Li 등 (2016)이 제안한 집합들보다 엄격히 날카롭다는 것이 증명되었다.
• 제안된 방법은 3차 3차원 M-텐서에 대해 τ(𝒜) ≥ 6.5의 하한을 도출하였으며, 이는 이전 방법의 2.5 및 2.74에 비해 크게 향상된 결과이다.
• 비음성 텐서의 스펙트럼 반경과 강한 M-텐서의 최소 H-고유값에 대한 새로운 경계는 Yang 및 Yang (2010), Li 등 (2014), He 및 Huang (2014)의 결과보다 더 날카르다.
• 양(반)정부호성에 대한 확인 가능한 충분조건은 Qi (2005), Li 등 (2014), He 및 Huang (2014)의 결과보다 더 넓은 범위를 커버한다.
• 수치 실험을 통해 여러 테스트 케이스에서 새로운 경계가 기존 경계보다 항상 날카르게 유지됨을 확인하였다.
• 이론적 프레임워크는 Υ^S(𝒜) ⊆ Ω^S(𝒜) ⊆ 𝒦^S(𝒜) ⊆ 𝒦(𝒜) ⊆ Γ(𝒜)임을 보여주며, 점점 더 날카운 집합들의 계층을 수립한다.