[논문 리뷰] A new series of compact minitwistor spaces and Moishezon twistor spaces over them

Nobuhiro Honda|ArXiv.org|2008. 05. 01.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 D. Joyce의 작업에서 유래한 토러스 대칭을 가진 자기 dual 메트릭스를 활용하여, $$\mathbf{C}^{*}$$-작용을 가진 새로운 무한한 가족의 컴act minitwistor 공간과 관련 Moishezon twistor 공간을 구성한다. $$\mathbf{C}^{*}$$-작용에 대한 twistor 공간의 매끄럽지 않은 몫을 분석함으로써, 저자들은 이러한 twistor 공간의 프로젝션 모델을 합리적인 표면 위의 원추 다발로 명시적으로 실현하며, 이는 프로젝션 공간에 매장되고 통제된 특이성을 가지는 minitwistor 공간을 의미한다. 주요 기여는 이전에 알려지지 않은 Moishezon twistor 공간의 체계적이고 명시적인 구성이며, LeBrun의 이전 예제를 일반화한다.

ABSTRACT

In recent papers math.DG/0701278 and arXiv:0705.0060, we gave explicit description of some new Moishezon twistor spaces. In this paper, developing the method in the papers much further, we explicitly give projective models of a number of new Moishezon twistor spaces, as conic bundles over some rational surfaces (called minitwistor spaces). These include the twistor spaces studied in the papers as very special cases. Our source of the result is a series of self-dual metrics with torus action constructed by D. Joyce. Actually, for arbitrary Joyce metrics and U(1)-subgroups of the torus which fixes a torus-invariant 2-sphere, we first determine the associated minitwistor spaces in explicit forms. Next by analyzing the meromorphic maps from the twistor spaces to the minitwistor spaces, we realize projective models of the twistor spaces of all Joyce metrics, as conic bundles over the minitwistor spaces. Then we prove that for any one of these minitwistor spaces, there exist Moishezon twistor spaces with only C*-action whose quotient space is the given minitwistor space. This result generates numerous Moishezon twistor spaces which cannot be found in the literature (including the author's papers), in quite explicit form.

연구 동기 및 목표

• 자기 dual 메트릭스의 토러스 대칭성을 가진 임의의 메트릭에서 $$\mathbf{C}^{*}$$-작용을 가진 새로운 컴 pact Moishezon twistor 공간을 체계적으로 구성하는 것.
• twistor 공간 위의 $$\mathbf{C}^{*}$$-작용에 대한 몫으로 유도되는, 프로젝션 공간에 매장된 합리적 표면으로서의 minitwistor 공간의 구조를 명시적으로 규명하는 것.
• 모든 Joyce 메트릭의 twistor 공간에 대한 프로젝션 모델을 이러한 minitwistor 공간 위의 원추 다발로 실현하는 것.
• 결과로 얻어진 minitwistor 공간이 Joyce 메트릭의 연속 매개변수에 의해 매개변수화된 모듈리 공간을 이룬다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 2-토러스 작용을 가진 $$n\mathbf{CP}^{2}$$ 위의 임의의 Joyce 메트릭에서, 2-구를 고정하는 $$U(1)$$-부분군을 선택함으로써 twistor 공간 위에 $$\mathbf{C}^{*}$$-작용을 유도한다.
• 선형 계열을 통한 twistor 공간에서 minitwistor 공간으로의 매끄럽지 않은 사상 $$\Phi_{m}^{G_{1}}$$을 구성하며, 그 이미지 표면은 프로젝션 공간 내의 복소 표면로 명시적으로 기술된다.
• 곡선의 선형군과 $$\mathbf{C}^{*}$$-부분군의 작용을 이용하여 minitwistor 공간의 구조를 규명함으로써, 합리적 정규 곡선 위의 명시적 원추 다발 사상이 도출된다.
• 매끄럽지 않은 지점의 집합을 부분적으로 블로우업을 통해 해결하여, 해결된 minitwistor 공간 위의 $$\mathbf{CP}^{2}$$-다발을 구성한다.
• 원래 twistor 공간의 프로젝션 모델은 이러한 $$\mathbf{CP}^{2}$$-다발 내부의 원추 다발로 실현되며, LeBrun의 구성 방식을 일반화한다.
• 이 구성이 twistor 공간의 $$\mathbf{C}^{*}$$-작용에 대한 표준 몫 공간임을 보이며, 이는 $$G_1$$-불변 곡선의 Douady 공간의 유일한 성분으로 확인된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Joyce의 자기 dual 메트릭스의 토러스 대칭성에서 $$\mathbf{C}^{*}$$-작용을 가진 새로운 Moishezon twistor 공간을 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 twistor 공간 위의 $$\mathbf{C}^{*}$$-작용에 대한 몫으로 얻어진 minitwistor 공간의 명시적 기하학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 twistor 공간의 프로젝션 모델을 이러한 minitwistor 공간 위의 원추 다발로 어떻게 실현할 수 있는가?
• RQ4 결과로 얻어진 minitwistor 공간들이 Joyce 메트릭의 연속 매개변수에 의해 매개변수화된 모듈리 공간을 이룬다 할 수 있는가?
• RQ5 매끄럽지 않은 몫 사상의 불확실성은 충분히 해결되어 명시적인 프로젝션 모델을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 저자들은 Joyce의 자기 dual 메트릭스의 토러스 작용의 $$U(1)$$-부분군에서 유도되는, 프로젝션 공간에 매장된 합리적 표면으로서의 새로운 컴 pact minitwistor 공간의 무한한 가산 가족을 구성한다.
• Minitwistor 공간이 경미한 특이성을 가진 합리적 표면임을 보이며, 그 구조는 Joyce 메트릭의 연속 매개변수에 명시적으로 의존하며, 이는 모듈리 공간을 이룬다.
• 모든 Joyce 메트릭의 twistor 공간에 대한 프로젝션 모델이 이러한 minitwistor 공간 위의 원추 다발로 실현되며, 이는 LeBrun의 구성 방식을 $$\mathbf{CP}^{1}\times\mathbf{CP}^{1}$$ 위에서 일반화한다.
• twistor 공간에서 minitwistor 공간으로의 매끄럽지 않은 몫 사상은 불확실성의 부분적 해결 이후에 매핑이 되며, 그 이미지는 $$G_1$$-불변 곡선의 Douady 공간의 유일한 성분임을 밝혀낸다.
• twistor 공간의 $$\mathbf{C}^{*}$$-작용에 대한 표준 몫 공간은 minitwistor 공간으로 확인되며, 이 구성은 이 몫으로 향하는 평탄하고 $$G_1$$--equivariant한 매핑을 유도한다.
• 이 몫 사상의 섬유는 곡선임을 보이며, 어떤 표면도 점으로 압축시키지 않아 몫 구성의 기하학적 무결성을 확보한다.