[논문 리뷰] A new simple example of an atomic domain which is not ACCP

Hamid Kulosman|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 25.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $F$가 체이고 $M$가 연속된 소수 $p_i$에 대해 $\frac{1}{p_i p_{i+2}}$로 생성되는 비음수 유리수의 부분모노이드인 단순한 모노이드 도메인 $F[X;M]$을 구성함으로써, 주 이상수 이상의 증가 조건(ACCP)을 만족하지 않는 원자 도메인의 새로운 간단한 예를 제시한다. 도메인은 모든 생성자가 기약이므로 원자적이지만, 모노이드 $M$은 주 이상수 이상의 무한히 증가하는 엄밀한 체인으로 인해 ACCP를 만족하지 못한다. 이는 제3.1조를 통해 도메인으로 옮겨진다.

ABSTRACT

We give a new simple example of an atomic domain which is not ACCP. Our example is a monoid domain $F[X;M]$, where $F$ is a field and $M$ is a submonoid of the additive monoid of nonnegative rational numbers.

연구 동기 및 목표

• 요구 사항이 오랫동안 애매하게 남아 있던 인수 분해 이론의 빈자리인, ACCP를 만족하지 않는 원자 도메인의 새로운 단순한 예를 제공하는 것.
• 원자성이 도메인에서 성립하더라도 ACCP를 반드시 만족하지는 않음을 보여주되, 그 역은 고전적으로 알려져 있음을 확인하는 것.
• 모노이드 도메인 $F[X;M]$을 사용하여 $M$을 비음수 유리수 $\mathbb{Q}_{+}$의 부분모노이드로 설정함으로써, 인수 분해 성질에 대한 대수적 및 조합적 제어를 가능하게 하는 예를 구성하는 것.
• 모노이드의 구조와 이상수 이상의 체인 행동을 명시적으로 분석함으로써, 모노이드 도메인에서 원자성과 ACCP 사이의 차이를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 연속된 소수 $p_i$에 대해 덧셈에 대한 모노이드 $M = \langle \frac{1}{p_i p_{i+2}} \mid i \geq 1 \rangle$를 정의한다.
• 분모 분석을 통해 $M$ 내의 더 작은 양수 원소들의 합으로 표현될 수 없음을 보여, 각 생성자 $\frac{1}{p_i p_{i+2}}$가 $M$에서 원자임을 증명한다.
• 무한히 증가하는 주 이상수 이상의 체인을 구성함으로써 $M$에서의 ACCP 실패를 증명한다: $\left(\frac{1}{p_i} + \frac{1}{p_{i+1}}\right) \subset \left(\frac{1}{p_{i+1}} + \frac{1}{p_{i+2}}\right)$.
• 제3.1조를 사용하여 $M$에서의 ACCP 실패를 모노이드 도메인 $F[X;M]$으로 이 trasfer하여, $F[X;M]$가 ACCP를 만족하지 않음을 보인다.
• 모순을 통해 $F[X;M]$가 원자적임을 증명한다: 어떤 원소가 무한히 분해된다고 가정하면, 기약형에서 가장 큰 지수를 분석하고, 원래의 지수에 존재하지 않는 소수 $p_j$를 분모에 포함시키는 모순을 이끌어낸다.
• 어떤 원자도 합에서 구조적 분모를 변화시키지 않고 유한한 수의 복제만 가능하므로, 유한한 분해가 보장됨을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음수 유리수의 부분모노이드를 사용하여, $\mathbb{Q}_{+}$의 모노이드 도메인을 통해 ACCP를 만족하지 않는 간단하고 명시적인 원자 도메인의 예를 구성할 수 있는가?
• RQ2 원자적이지만 ACCP를 만족하지 않는 모노이드 도메인 $F[X;M]$이 존재하는가? 여기서 $M$은 비음수 유리수의 부분모노이드여야 한다.
• RQ3 $M$의 원자성이 $F[X;M]$의 원자성을 유도하는가? (논문은 일반적으로 이를 해결하지 않지만, 본 예에서는 성립함을 보여준다.)
• RQ4 모노이드 $M$에서 주 이상수 이상의 무한한 체인을 명시적으로 구성함으로써 ACCP의 실패를 입증할 수 있는가?
• RQ5 $M$의 어떤 구조적 성질이 $M$이 ACCP를 만족하지 않더라도 $F[X;M]$가 여전히 원자적임을 보장하는가?

주요 결과

• 모노이드 $M = \langle \frac{1}{p_i p_{i+2}} \mid i \geq 1 \rangle$는 각 생성자 $\frac{1}{p_i p_{i+2}}$가 합에서 분모 제약으로 인해 기약이므로 원자적이다.
• 모노이드 $M$은 수열 $\left(\frac{1}{p_i} + \frac{1}{p_{i+1}}\right)_{i \geq 1}$이 주 이상수 이상의 무한히 증가하는 체인을 이룬다는 이유로 ACCP를 만족하지 못한다.
• 제3.1조에 의해 $F[X;M]$는 ACCP를 만족하지 않으며, 이는 $F[X;M]$의 ACCP 성질이 $M$의 성질에 의해 결정됨을 보여준다.
• 모노이드 도메인 $F[X;M]$는 모순을 통해 원자적임을 증명한다: 무한한 인수 분해는 원래의 지수에 존재하지 않는 소수 $p_j$를 분모에 포함시키며, 이는 모순을 낳는다.
• 이 구성은 간단하고 명시적이며, 유리수와 소수 인덱스만을 사용하므로 향후 인수 분해 이론 연구에 접근하기 용이하다.
• 이 예는 원자성이 항상 ACCP를 의미하지는 않음을 보여주며, 잘 정의된 모노이드 도메인에서도 이 현상이 발생할 수 있음을 새롭고 기본적인 사례로 제시한다.