[논문 리뷰] A new topology on the space of unbounded selfadjoint operators and the spectral flow

Charlotte Wahl|ArXiv.org|2006. 07. 30.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 분리 가능 힐버트 공간 위의 유계가 아닌 자기수반 연산자 공간에 대해, 해저본트의 강한 연속성과 특정한 부드러운 함수해석 계산 맵의 조합으로 정의된 더 약한 위상을 소개한다. 이 위상에서 자기수반 프레드홀름 연산자 공간이 $K^1$의 함자를 표현하고, 일반 프레드홀름 연산자 공간이 $K^0$의 함자를 표현하며, 스펙트럴 플로우를 이 위상으로 일반화하고, 유니타리 경로를 통해 둘레 수와 관련지킨다.

ABSTRACT

We define a new topology, weaker than the gap topology, on the space of selfadjoint unbounded operators on a separable Hilbert space. We show that the subspace of selfadjoint Fredholm operators represents the functor $K^1$ from the category of compact spaces to the category of abelian groups and prove a similar result for $K^0$. We define the spectral flow of a continuous path of selfadjoint Fredholm operators generalizing the approach of Booss-Bavnek--Lesch--Phillips.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트 다양체를 포함한 기하학적 응용에 더 적합한, 유계가 아닌 자기수반 연산자 공간에 대해 새로운 더 약한 위상을 정의하는 것.
• 이 새로운 위상에서 자기수반 프레드홀름 연산자 공간이 함수 $K^1$을 표현함을 보이는 것.
• 이 새로운 위상에서 일반 프레드홀름 연산자 공간이 부분위상에서 $K^0$의 함수를 표현함을 보이는 것.
• 이 새로운 위상에서 연속 경로에 대해 스펙트럴 플로우를 정의하고, Booss-Bavnek–Lesch–Phillips 접근법을 일반화하는 것.
• 스펙트럴 플로우를 관련된 유니타리 경로의 둘레 수와 연결하여, 비가환 $K$-이론의 결과를 고전적 함수해석학을 통해 복원하는 것.

제안 방법

• 해저본트 $(D_t \pm i)^{-1}$ 가 강한 연산자 위상에서 $t$ 에 대해 연속적이며, $\phi' > 0$ 이 $(-\varepsilon,0)$ 에서 성립하는 어떤 짝수 $\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R})$ 에 대해 $\phi(D_t)$ 가 연속적이게 하여 새로운 위상을 정의한다.
• 이 위상이 갭 위상보다 엄밀히 더 약하지만, 유니타리 코너제이션과 유계 변환에 대한 연속성과 같은 핵심 성질을 유지함을 증명한다.
• 자기수반 연산자의 함수해석학을 사용하여 $\phi(D_t)$ 의 연속성과 해저본트 및 스펙트럼 프로젝션의 강한 연속성 간의 관계를 규명한다.
• 경로 $(D_t)_{t \in [0,1]}$ 가 $\mathfrak{SF}(H)$ 에 속할 때, 정규화 함수 $\chi$ 를 사용한 $\chi(D_t)$ 와 관련된 스펙트럼 프로젝션의 지표를 통해 스펙트럴 플로우를 정의한다.
• 스펙트럴 플로우에 대한 호모토피 불변성 결과를 확립하고, $t \mapsto e^{\pi i(\chi(D_t) + 1)}$ 를 통해 둘레 수와 연결한다.
• 유니타리 경로의 둘레 수와 스펙트럴 플로우가 일치함을 증명하며, $\pi_1(\mathcal{U}_K(H)) \cong \mathbb{Z}$ 의 동형사상에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기수반 프레드홀름 연산자 공간에 대해, 자기수반 프레드홀름 연산자 공간이 $K^1$을 표현하는 새로운 더 약한 위상을 정의할 수 있는가?
• RQ2 이 새로운 위상은 갭 위상과 달리, 유니타리 코너제이션과 유계 변환에 대한 연속성을 유지하는가?
• RQ3 이 새로운 위상에서 연속 경로에 대해 스펙트럴 플로우를 일반화할 수 있으며, 양끝이 가역일 경우 고전적 정의와 동치인가?
• RQ4 이 위상에서 연속 경로의 스펙트럴 플로우가 관련된 유니타리 경로의 둘레 수와 같은가?
• RQ5 비가환 $K$-이론의 결과(예: 힐버트 $C^*$-대수 모듈러스를 통한 스펙트럴 플로우)를 고전적 함수해석학을 통해 힐버트 공간에서 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 이 새로운 위상은 갭 위상보다 엄밀히 더 약하지만, 연속 경로의 유계 변환 역시 여전히 연속성을 유지함을 보장한다.
• 이 위상에서 자기수반 프레드홀름 연산자 공간은 컴팩트 공간에서 아벨 군으로 가는 함수 $K^1$을 표현한다.
• 부분위상에서 일반 프레드홀름 연산자 공간은 함수 $K^0$을 표현한다.
• 이 위상에서 자기수반 프레드홀름 연산자 연속 경로의 스펙트럴 플로우는 잘 정의되어 있으며, 힐버트 공간 사례에서의 비가환 스펙트럴 플로우와 일치한다.
• 양끝이 가역일 경우, 스펙트럴 플로우는 $\mathcal{U}_K(H)$ 에서 경로 $t \mapsto e^{\pi i(\chi(D_t) + 1)}$ 의 둘레 수와 같다.
• 스펙트럴 플로우는 호모토피와 유니타리 코너제이션에 대해 불변이며, 정규화 함수가 존재하는 한 경로가 닫혀 있더라도(즉, $D_0 = D_1$) 결과가 유지된다.