[논문 리뷰] A new truncated $M$-fractional derivative type unifying some fractional derivative types with classical properties

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 14.

Fractional Differential Equations Solutions인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 고전적 미적분학 성질을 만족하는 단일 연산자로, conformable, alternative, generalized alternative 및 $M$-fractional 미분을 통합하는 새로운 절단된 $M$-분수 미분 ${}_{i}\mathscr{D}_{M}^{eta,\alpha}$를 제안한다. 이 방법은 하나의 매개수를 가진 절단된 Mittag-Leffler 함수를 사용하여 $M$-분수 열 방정정의 해석적 해를 도출하며, $β \to 1$ 및 $α \to 1$의 극한에서 기존의 해와 일致함을 보여주어 정수계수 및 분수계수 미적분학 프레임워크와의 일致성을 입증한다.

ABSTRACT

We introduce a truncated $M$-fractional derivative type for $α$-differentiable functions that generalizes four other fractional derivatives types recently introduced by Khalil et al., Katugampola and Sousa et al., the so-called conformable fractional derivative, alternative fractional derivative, generalized alternative fractional derivative and $M$-fractional derivative, respectively. We denote this new differential operator by $_{i}\mathscr{D}_{M}^{α,β}$, where the parameter $α$, associated with the order of the derivative is such that $ 0 0$ and $ M $ is the notation to designate that the function to be derived involves the truncated Mittag-Leffler function with one parameter. The definition of this truncated $M$-fractional derivative type satisfies the properties of the integer-order calculus. We also present, the respective fractional integral from which emerges, as a natural consequence, the result, which can be interpreted as an inverse property. Finally, we obtain the analytical solution of the $M$-fractional heat equation and present a graphical analysis.

연구 동기 및 목표

• 네 가지 기존의 분수 미분 유형—conformable, alternative, generalized alternative 및 $M$-fractional—을 단일 연산자로 통합하여 고전적 미적분학 성질을 유지하는 것.
• 한 개의 매개수를 가진 절단된 Mittag-Leffler 함수를 사용하여 새로운 절단된 $M$-분수 미분을 정의하는 것.
• 관련된 $M$-분수 적분을 정의하고, 이가 미분과 역관계임을 증명하는 것.
• 새로운 미분을 사용하여 $M$-분수 열 방정정을 해석적으로 풀고 해의 행동을 분석하는 것.
• 극한 경우 $β \to 1$ 및 $α \to 1$에서 새로운 미분이 기존의 분수 및 정수계수 해로 수렴함을 보여주는 것.

제안 방법

• 절단된 Mittag-Leffler 함수 $E_{\beta}^{(i)}(z)$를 사용하여 절단된 $M$-분수 미분을 정의함으로써 기존의 분수 미분을 일반화한다.
• ${}_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$ 미분 연산자가 선형성, 곱의 법칙, 연쇄법칙, 롤의 정리 및 평균값 정리와 같은 고전적 미적분학 성질을 만족함을 보여준다.
• $M$-분수 적분을 도입하고, 그 역관계가 엄밀히 증명되어 미분과 적분 간의 기본적 관계를 확립한다.
• 분리 변수법을 사용하여 $M$-분수 열 방정정을 해석적으로 풀어 Mittag-Leffler 함수를 포함한 급수 해를 도출한다.
• MATLAB을 사용하여 $α$ 및 $β$ 매개수의 변화에 따른 해의 행동을 시각화하기 위한 그래픽 분석을 수행한다.
• 극한 경우 분석: $β \to 1$일 때 해는 Çenesiz 등이 제시한 분수 열 방정정의 해로 수렴하고, $α \to 1$일 때는 고전적 열 방정정의 해로 감소함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 conformable, alternative, generalized alternative 및 $M$-fractional 미분을 통합하면서도 고전적 미적분학 성질을 유지하는 단일 분수 미분 연산자를 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 절단된 $M$-분수 미분이 곱의 법칙, 연쇄법칙 및 평균값 정리와 같은 기본적인 미적분학 법칙을 만족하는가?
• RQ3 기본적인 경계 조건 및 초기 조건 하에서 $M$-분수 열 방정정의 해석적 해는 무엇인가?
• RQ4 매개수 $α$ 및 $β$의 다양한 값에서 해는 어떻게 행동하며, 기존의 해와 비교해보면 어떠한가?
• RQ5 극한 $β \to 1$ 및 $α \to 1$에서 해는 어떻게 되며, 기존의 분수 및 정수계수 미적분학 결과를 회복하는가?

주요 결과

• ${}_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$ 절단된 $M$-분수 미분이 선형성, 곱의 법칙, 연쇄법칙, 롤의 정리 및 평균값 정리와 같은 모든 고전적 미적분학 성질을 만족한다.
• $M$-분수 적분이 정의되고, 절단된 $M$-분수 미분의 역함수임이 엄밀히 증명되어 기본적인 미적분학적 관계를 확립한다.
• $M$-분수 열 방정정의 해석적 해는 사인 함수와 감마 함수, $t^\alpha$를 포함한 지수항을 가진 무한급수 형태로 유도된다.
• $β \to 1$일 때 해는 Çenesiz 등이 제시한 분수 열 방정정의 해로 감소하여 이전 연구와의 일致성을 확인한다.
• $α \to 1$일 때 해는 고전적 열 방정정의 해로 수렴하여 정수계수 미적분학의 복원을 보여준다.
• MATLAB을 사용한 그래픽 분석 결과, 해의 감쇠 속도는 $α$와 $β$에 따라 달라지며, $α$가 작고 $β$가 클수록 감쇠가 느려지는 것으로 나타나 기억 효과 및 비국소성 효과를 반영한다.