[논문 리뷰] A new two parameter lifetime distribution: model and properties

Hojjatollah Zakerzadeh, Eisa Mahmoudi|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 19.

Statistical Distribution Estimation and Applications참고 문헌 23인용 수 34

한 줄 요약

이 논문은 린들리 분포와 기하분포를 복합화하여 유도된 새로운 이항분포인 린들리-기하분포(LG) 분포를 제안한다. 이 분포는 감소하는, 증가하는, 또는 배럴형(failure rate)을 띌 수 있으며, 기준이 되는 린들리 분포보다 더 큰 유연성을 제공한다. 실제 생존 데이터에 대한 적용 사례에서는 더 나은 적합도를 보였다.

ABSTRACT

In this paper a new lifetime distribution which is obtained by compounding Lindley and geometric distributions, named Lindley-geometric (LG) distribution, is introduced. Several properties of the new distribution such as density, failure rate, mean lifetime, moments, and order statistics are derived. Furthermore, estimation by maximum likelihood and inference for large sample are discussed. The paper is motivated by two applications to real data sets and we hope that this model be able to attract wider applicability in survival and reliability.

연구 동기 및 목표

• 린들리 및 기하분포를 복합화하여 더 유연한 이항분포 수명 분포를 개발하기.
• 생존 및 신뢰성 데이터에서 배럴형 및 단일극대형 패턴을 포함한 복잡한 장애율 행동을 모델링하기.
• 최대우도추정을 위한 EM 알고리즘과 통계적 추론 절차를 포함한 통계적 프레임워크 제공하기.
• 실제 데이터 적용 및 적합도 비교를 통한 모델 성능 평가하기.
• 기하복합화를 통한 농도 파라미터 도입을 통해 린들리 분포의 적용 범위 확장하기.

제안 방법

• LG 분포는 린들리 분포를 따르는 랜덤 변수를 기하분포로 결정된 개수의 구성 요소로 복합화하여 유도되며, 구성 요소들의 최소값이 새로운 수명 변수를 정의한다.
• 확률밀도함수 (PDF)는 $ f(y) = \frac{\theta^{2}}{\theta+1}(1-p)(1+y)e^{-\theta y}\left[1 - p(1 + \frac{\theta y}{\theta+1})e^{-\theta y}\right]^{-2} $ 로 유도되며, 파라미터 $ \theta > 0 $ 및 $ 0 < p < 1 $ 를 가진다.
• 위험률 함수는 $ h(y) = \frac{\theta^{2}(\theta+1)(1+y)}{(1+\theta+\theta y)[\theta+1 - p(1+\theta+\theta y)e^{-\theta y}]} $ 로 표현되어 장애율 행동 분석이 가능하다.
• 복합화 과정에서 유도된 잠재변수 구조를 다루기 위해 최대우도추정은 EM 알고리즘을 사용한다.
• 모델의 모멘트, 순서통계량, 잔여수명 함수 및 본페로니/로렌츠 곡선은 해석적으로 유도된다.
• 강건한 통계적 추론을 위해 확률가중모멘트와 평균 및 중앙값에서의 평균편차가 계산된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 린들리 및 기하분포를 복합화하여 장애율 모델링에 더 큰 유연성을 제공하는 새로운 이항분포 수명 분포를 구성할 수 있는가?
• RQ2 밀도, 위험률, 모멘트 및 순서통계량과 같은 린들리-기하분포의 분석적 성질은 무엇인가?
• RQ3 LG 분포는 배럴형 또는 단일극대형 장애율 행동을 나타내는가? 어떤 파라미터 조건에서 그러한 행동을 보이는가?
• RQ4 기존의 지수분포, 와이블 분포 및 린들리 분포와 비교했을 때 LG 모델은 실제 생존 데이터에 대해 얼마나 우수한 적합도를 보이는가?
• RQ5 EM 알고리즘이 유한 표본에서 LG 분포의 파라미터를 효과적으로 추정하고 신뢰할 수 있는 추론을 가능하게 하는가?

주요 결과

• LG 분포는 $ \theta $ 및 $ p $ 의 값에 따라 감소형, 증가형 또는 배럴형 장애율을 나타낼 수 있으며, $ p > \frac{1}{1+\theta^2} $ 일 때 배럴형 행동가능성이 있다.
• 밀도 함수는 $ p \leq \frac{1-\theta^2}{1+\theta^2} $ 일 때 단일극대형이며, 그 외의 경우 감소형이 되어 형태의 풍부한 다양성을 보인다.
• 두 개의 실제 데이터 세트에 대해 지수분포, 와이블 분포 및 린들리 분포와의 비교에서 LG 모델이 더 나은 적합도를 보였다. 첫 번째 데이터 세트의 경우 AIC 및 BIC 값은 각각 110.6 및 116.6였고, 두 번째 데이터 세트에서는 각각 112.6 및 114.7였다.
• EM 알고리즘이 파라미터 추정에 성공적으로 수렴하여 대규모 표본에서 신뢰할 수 있는 추론이 가능하다.
• 모델의 모멘트, 모멘트생성함수 및 순서통계량은 분석적으로 다룰 수 있어 종합적인 통계 분석을 지원한다.
• 확률가중모멘트와 평균 및 중앙값에서의 평균편차가 유도되어, 신뢰성 및 불평등 분석 분야에서 모델의 유용성이 향상된다.