[논문 리뷰] A new type of the Gronwall-Bellman inequality and its application to fractional stochastic differential equations

Qiong Wu|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 28.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비특이적 및 특이적 적분 유형을 통합하는 새로운 고르발-벨리만 부등식을 제안하며, $0<\alpha<1$ 순서를 가진 분수 차수 확률미분방정식(Fractional SDEs)의 분석을 가능하게 한다. 이론적 기반으로 이항함수와 감마함수 및 미타그레플레르 함수의 성질을 활용하여 해의 존재성과 유일성을 확립하고, 이토의 공식을 통해 분수 차수의 포커-플랑크-콜모고로프 방정식을 유도한다.

ABSTRACT

This paper presents a new type of Gronwall-Bellman inequality, which arises from a class of integral equations with a mixture of nonsingular and singular integrals. The new idea is to use a binomial function to combine the known Gronwall-Bellman inequalities for integral equations having nonsingular integrals with those having singular integrals. Based on this new type of Gronwall-Bellman inequality, we investigate the existence and uniqueness of the solution to a fractional stochastic differential equation (SDE) with fractional order on (0, 1). This result generalizes the existence and uniqueness theorem related to fractional order (1/2 1) appearing in [1]. Finally, the fractional type Fokker-Planck-Kolmogorov equation associated to the solution of the fractional SDE is derived using It^o's formula.

연구 동기 및 목표

• 비특이적 및 특이적 적분을 동시에 포함하는 분수 차수 SDEs에 적용 가능한 고르발-벨리만 부등식의 부족을 해결하기 위해.
• 분수 확률역학에서 발생하는 혼합형 적분방정식을 위한 통합된 적분부등식 프레임워크를 개발하기 위해.
• 기존 결과가 $\frac{1}{2}<\alpha<1$ 범위로 국한되어 있음에 비해, 순서 $0<\alpha<1$ 를 가진 분수 차수 SDEs의 해의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.
• 이토의 공식을 활용하여 분수 차수 SDE의 해와 관련된 분수 차수의 포커-플랑크-콜모고로프 방정식을 도출하기 위해.

제안 방법

• 비특이적 및 특이적 적분에 대한 기존 부등식과 이항함수를 융합하여 새로운 고르발-벨리만 유형의 부등식을 제안하기 위해.
• 표준적 및 리만-리우빌 유형의 특이 적분을 포함하는 혼합 적분 항을 처리하기 위해 연산자 $B\phi(t)$ 를 정의하기 위해.
• 유계성, 단조증가성, 음이 아닌 함수 $a(t)$, $b(t)$, $g(t)$ 를 만족하는 경우에 대해 귀납법과 감마함수 항등식을 활용하여 부등식의 타당성을 검증하기 위해.
• 다음과 같은 경계를 확립하기 위해: $u(t) \leq a(t) + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} b^{n-i}(t) g^i(t) \frac{[\Gamma(\alpha)]^i}{\Gamma(i\alpha + n - i)} \int_0^t (t-s)^{i\alpha - (i+1-n)} a(s) \, ds$.
• 새로운 부등식을 적용하여 수축사상 원리에 기반한 분수 차수 SDE의 해의 존재성과 유일성을 증명하기 위해.
• 해의 확률과정에 이토의 공식을 적용하고 조건부 기대값을 취하여 분수 차수의 포커-플랑크-콜모고로프 방정식을 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비특이적 및 특이적 적분을 모두 포함하는 적분방정식에 대해 통합된 고르발-벨리만 부등식을 구성할 수 있는가?
• RQ2 새로운 부등식이 $0<\alpha<1$ 를 가진 분수 차수 SDEs의 존재성과 유일성 증명을 가능하게 하는가?
• RQ3 혼합 순서 동역학을 가진 분수 차수 SDE의 해는 확률밀도 측면에서 어떻게 시간에 따라 변화하는가?
• RQ4 해의 확률밀도의 시간적 진화를 지배하는 포커-플랑크-콜모고로프 방정식의 형태는 어떠한가?

주요 결과

• 비특이적 및 특이적 적분을 혼합한 적분방정식에 대해 기존의 각각의 경우에 한정된 결과를 일반화하는 새로운 고르발-벨리만 부등식이 확립되었다.
• 이 부등식은 이항계수, 감마함수, 거듭제곱핵을 가진 반복적 적분을 포함하는 $u(t)$ 의 명시적 상한을 제공한다.
• 새로운 부등식과 수축사상 원리에 기반하여 순서 $0<\alpha<1$ 를 가진 분수 차수 SDE의 해의 존재성과 유일성이 증명되었다.
• 분수 차수의 포커-플랑크-콜모고로프 방정식은 $\frac{\partial P^X}{\partial t} = A^*_1 P^X + \alpha \int_0^t (t-s)^{\alpha-1} A^*_2 P^X(s,x) \, ds$ 로 유도되었으며, 초기 조건 $P^X(0,x) = \delta_{x_0}(x)$ 를 만족한다.
• 이 방정식은 SDE의 비드 및 확산 계수를 반영한 공간 연산자 $A^*_x$ 와 $B^*_x$ 를 통해 표현된다.
• 유도 과정은 이토의 공식, 조건부 기대값, 푸비니 정리를 활용하여 SDE를 기억 효과를 가진 후행 콜모고로프 형 방정식으로 변환하는 데 기반한다.