[논문 리뷰] A non-commutative algorithm for multiplying (7 $\ imes$ 7) matrices using 250 multiplications

Alexandre Sedoglavic|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 13.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 14인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 기존의 상한 258보다 낮은 250개의 스칼라 곱셈을 사용하여 7×7 행렬을 곱하는 비가환 알고리즘을 제시한다. 이 방법은 스트라센의 분할 정복 기법과 알려진 직사각형 행렬 곱셈을 위한 빠른 알고리즘을 결합하여, 특히 스미르노프의 4×4 및 3×4 부분 문제에 대한 결과를 활용함으로써 총 곱셈 횟수를 줄인다.

ABSTRACT

We present a non-commutative algorithm for multiplying (7x7) matrices using 250 multiplications and a non-commutative algorithm for multiplying (9x9) matrices using 520 multiplications. These algorithms are obtained using the same divide-and-conquer technique.

연구 동기 및 목표

• 7×7 행렬 곱셈에 필요한 곱셈 횟수에 대한 새로운 상한을 도출하는 것.
• 비가환 행렬 대수를 활용한 분할 정복 접근법을 통해 계산 복잡도를 감소시키는 것.
• 기존에 알려진 7×7 행렬 곱셈에 대한 상한 258번의 곱셈을 개선하는 것.
• 이 방법이 9×9와 같은 더 큰 행렬에 적용되었을 때의 한계를 탐색하는 것.
• 이 방법의 효과성이 현재까지 알려진 직사각형 행렬에 대한 빠른 알고리즘 지식에 의해 제한됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 7×7 행렬 곱셈을 더 작은 부분 문제로 분해하기 위해 스트라센의 2×2 행렬 곱셈 공식을 재귀적으로 적용한다.
• 8×8 행렬로 패딩하여 0으로 이루어진 행과 열을 추가함으로써 7×7 행렬을 8×8으로 확장하고, 4×4 블록 구조에 대한 재귀적 적용을 가능하게 한다.
• 이 방법은 (u+v)×(u+v) 행렬 곱셈의 복잡도를 더 작은 u×u 및 v×v 부분 문제의 복잡도로 제한하는 핵심 부등식(정리 1)에 의존한다.
• 특히 (2×3)×(3×4), (2×4)×(4×3), (2×3)×(3×5) 곱셈에 대한 스미르노프의 알고리즘을 포함한 기존의 빠른 직사각형 행렬 곱셈 알고리즘을 조합하여 총 곱셈 횟수를 최소화한다.
• 텐서 표현 및 추적 동치성은 행렬 곱셈의 이차형식을 해석하고, 부분 곱셈에 해당하는 추적 항으로 분해하는 데 사용된다.
• 최종 알고리즘은 이러한 부분 곱셈의 결과를 집계하여 7×7 곱셈 결과 행렬을 정확히 재구성하며, 총 곱셈 횟수는 250번으로 제한된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 7×7 행렬 곱셈에 대해 258번 이하의 곱셈을 사용하는 비가환 행렬 곱셈 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ2 스트라센의 방법과 직사각형 행렬 알고리즘의 조합이 정사각형 행렬 곱셈의 총 곱셈 횟수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 이 분할 정복 접근법을 9×9 행렬에 적용했을 때의 이론적 한계는 무엇인가?
• RQ4 이 방법의 성능이 직사각형 행렬에 대한 빠른 알고리즘의 가용성에 의해 얼마나 제한되는가?
• RQ5 이 프레임워크는 7×7 및 9×9를 초월한 다른 행렬 크기로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 7×7 행렬 곱셈에 대해 기존 알려진 상한 258보다 낮은 새로운 상한 250을 확립하였다.
• 알고리즘은 스트라센의 2×2 블록 곱셈과 최적화된 직사각형 부분 문제를 사용하며, 특히 스미르노프의 (4×4)×(4×3) 및 유사 크기의 빠른 알고리즘을 활용한다.
• 9×9 행렬 곱셈의 경우 이 방법은 520번의 곱셈을 유도한다. 이는 알려진 514번 곱셈 알고리즘보다 2번 더 많지만, 이전의 상한에 비해 상당한 개선을 이룬다.
• 이 방법의 성능은 현재까지 알려진 빠른 직사각형 행렬 곱셈 알고리즘의 지식 수준에 의해 제한되며, 520과 514 사이의 격차로 이를 입증한다.
• 이 프레임워크는 일반화 가능하며, (8×8), (9×9), (10×10) 행렬에 대해 유사한 재귀적 분해를 통해 상한을 유도함으로써 다른 행렬 크기에 적용 가능함을 보여준다.
• 이 알고리즘의 성공은 효율적인 직사각형 행렬 곱셈 알고리즘의 가용성에 의해 결정되며, 현재로서는 이를 초월한 개선이 제한되어 있다.