[논문 리뷰] A non-coordinatizable sectionally complemented modular lattice with a large J\\'onsson four-frame

Friedrich Wehrung|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 25.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1962년 존슨에 의해 제기된 열린 문제를 해결하기 위해, 기수 ℵ₁인 비좌표화 가능한 부분적으로 보완 가능한 모듈라 레이티스를 구성한다. 이 레이티스는 큰 4-프레임을 지닌다. 반면, 바나슈에프스키 함수와 인덱스 3의 유닛-정규환을 사용하여, 큰 4-프레임의 존재가 좌표화 가능성으로 이르지 못함을 보여주며, 이는 좌표화 가능한 보완 가능한 모듈라 레이티스의 이상이면서 큰 5-프레임을 갖는 경우에도 성립한다.

ABSTRACT

A sectionally complemented modular lattice L is coordinatizable if it is isomorphic to the lattice L(R) of all principal right ideals of some von Neumann regular (not necessarily unital) ring R. We say that L has a large 4-frame if it has a homogeneous sequence (a_0,a_1,a_2,a_3) such that the neutral ideal generated by a_0 is L. J\\'onsson proved in 1962 that if L has a countable cofinal sequence and a large 4-frame, then it is coordinatizable; whether the cofinal sequence assumption could be dispensed with was left open. We solve this problem by finding a non-coordinatizable sectionally complemented modular lattice L with a large 4-frame; it has cardinality aleph one. Furthermore, L is an ideal in a (necessarily coordinatizable) complemented modular lattice with a spanning 5-frame. Our proof uses Banaschewski functions. A Banaschewski function on a bounded lattice L is an antitone self-map of L that picks a complement for each element of L. In an earlier paper, we proved that every countable complemented modular lattice has a Banaschewski function. We prove that there exists a unit-regular ring R of cardinality aleph one and index of nilpotence 3 such that L(R) has no Banaschewski function.

연구 동기 및 목표

• 부분적으로 보완 가능한 모듈라 레이티스에 큰 4-프레임이 존재할 경우 반드시 좌표화 가능해야 하는지 여부를 해결하는 것.
• 존슨의 1962년 추측, 즉 큰 4-프레임이 좌표화 가능성을 암시한다고 보는 것에 대해, 가산적 후행 수열이 필요 없이 반례를 구성하는 것.
• 좌표화 가능한 보완 가능한 모듈라 레이티스의 이상이 좌표화 가능하지 않을 수 있음을 보여주는 것, 즉, 전체 레이티스가 큰 5-프레임을 갖는다고 해도 성립함.
• 큰 4-프레임을 지닌 좌표화 가능한 부분적으로 보완 가능한 모듈라 레이티스의 클래스가 일阶논리적으로 정의 가능하지 않음을 증명하는 것.

제안 방법

• 기수 ℵ₁이고 비제곱 지수 3인 유닛-정규환 R를 구성하여, R의 주우측 이상들로 이루어진 레이티스 L(R)가 바나슈에프스키 함수를 지닐 수 없음을 보이는 것.
• 컨덴세이트 리프팅 레이티스 보조정리를 사용하여, 몫 레이티스에서 바나슈에프스키 함수를 더 큰 레이티스로 리프팅함으로써, 큰 4-프레임을 지닌 비좌표화 가능한 레이티스를 구성하는 것.
• 직접 극한과 레이티스의 유한한 곱을 사용하여, 큰 5-프레임을 갖는 보완 가능한 모듈라 레이티스 L′을 구성함으로써 L′이 좌표화 가능함을 보장하는 것.
• 구성된 레이티스 L가 L′의 이상과 동형임을 증명함으로써, 환의 곱에서 이상의 구조와 동질적 수열의 행동을 활용하는 것.
• 바나슈에프스키 트레이스 이론을 적용하여, 큰 4-프레임을 지닌 레이티스에서 바나슈에프스키 트레이스의 존재가 좌표화 가능성과 동치임을 보이는 것.
• 모델이론적 기법, 특히 초순수 레이티스와 일阶논리학을 사용하여, 큰 4-프레임을 지닌 좌표화 가능한 레이티스의 클래스가 일阶논리적으로 정의 가능하지 않음을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부분적으로 보완 가능한 모듈라 레이티스에 큰 4-프레임이 존재할 경우, 가산적 후행 수열이 없더라도 좌표화 가능성이 보장되는가?
• RQ2 큰 4-프레임을 지닌 비좌표화 가능한 부분적으로 보완 가능한 모듈라 레이티스가 존재할 수 있으며, 만약 그렇다면 어떤 구조적 성질을 가져야 하는가?
• RQ3 큰 4-프레임을 지닌 좌표화 가능한 부분적으로 보완 가능한 모듈라 레이티스의 클래스는 일阶논리적으로 공리화 가능한가?
• RQ4 좌표화 가능한 보완 가능한 모듈라 레이티스의 이상이 큰 5-프레임을 갖는다고 해도 좌표화 가능하지 않을 수 있는가?
• RQ5 특히 유닛-정규환의 맥락에서, 레이티스에 바나슈에프스키 함수가 존재하지 않으면 비좌표화 가능성으로 이르는가?

주요 결과

• 기수 ℵ₁이면서 큰 4-프레임을 지닌 비좌표화 가능한 부분적으로 보완 가능한 모듈라 레이티스 L을 명시적으로 구성함으로써, 존슨의 1962년 질문에 대한 부정적 해답을 제시한다.
• 레이티스 L은 큰 5-프레임을 지닌 보완 가능한 모듈라 레이티스 L′의 이상과 동형이며, L′는 좌표화 가능하므로, 좌표화 가능한 레이티스의 이상이 반드시 좌표화 가능하지 않음을 보여준다.
• 기수 ℵ₁이고 비제곱 지수 3인 유닛-정규환 R를 구성하여, L(R)가 바나슈에프스키 함수를 지닐 수 없음을 보였고, 이는 L(R)가 좌표화 가능하지 않음을 암시한다.
• 레이티스 L은 4/5-전체이며, L의 모든 주 이상은 좌표화 가능하지만, L 자체는 좌표화 가능하지 않다.
• 큰 4-프레임을 지닌 좌표화 가능한 부분적으로 보완 가능한 모듈라 레이티스의 클래스는 일阶논리적으로 정의 가능하지 않으며, 이는 L의 가산 초순수 부분레이티스를 구성함으로써 증명된다. 이 부분레이티스는 좌표화 가능하지만 L은 그렇지 않다.
• 큰 4-프레임을 지닌 레이티스에서 바나슈에프스키 트레이스의 존재는 좌표화 가능성과 동치임을 보였고, 구성된 레이티스 L은 그러한 트레이스를 지니지 않으며, 이는 L의 비좌표화 가능성과 일치한다.