[논문 리뷰] A non-dynamically coherent example on ${\mathbb T}^3$

Federico Rodriguez Hertz, Jana Rodriguez Hertz외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 02.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 8인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 3차원 토러스 𝕋³에서 중심(bundle)이 1차원인 부분적으로 초구형 미분형사의 동역학적 비일관성에 대한 첫 번째 알려진 예를 구성한다. 이는 아노소프 지도의 변형과 원주 위의 모르스-스말 데피오모르피즘을 조합한 방법을 통해 이루어지며, 핵심 결과는 $C^1$-열린 집합 내에서 동역학적으로 비일관성인 이러한 미분형사들이 존재함을 보여주며, 이는 중심-불안정 토러스가 존재하고 이 토러스가 안정적이라는 점에서 기인한다. 이는 1975년 이후 오랫동안 남아 있던 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In this paper we give the first example of a non-dynamically coherent partially hyperbolic diffeomorphism with one-dimensional center bundle. The existence of such an example had been an open question since 1975.

연구 동기 및 목표

• 3차원 토러스 𝕋³에서 중심 백터 백터가 1차원인 부분적으로 초구형 미분형사에 대해 동역학적 일관성이 자동으로 성립하는지 여부를 해결하는 것.
• 1차원 중심 백터 백터를 가짐에도 불구하고 동역학적으로 비일관성인 부분적으로 초구형 미분형사의 구체적 예를 구성하는 것.
• 고립된 안정 중심-불안정 토러스의 존재가 3차원 다양체에서 동역학적 일관성을 방해할 수 있음을 보여주는 것.
• 초구형 토랄 자동형사와 동치인 𝕋³ 위의 부분적으로 초구형 미분형사들의 공간이 비연결임을 보이는 것.

제안 방법

• 공간 $\mathbb{T}^2 \times \mathbb{S}^1 = \mathbb{T}^3$ 에서의 제품 아노소프 미분형사 $A \times \text{id}$ 를 원주 성분에서 모르스-스말 미분형사에 의해 변형한다.
• 변형의 역학적 성질로부터 유도되는, 불변이면서 안정적인 중심-불안정 토러스 $T^{cu}$ 를 구성한다.
• 외부 영역에서 $E^c \oplus E^u$ 가 유일하게 적분 가능하다는 사실을 이용하여, 임의의 불변 $cu$-포호레이션은 반드시 컴act 리프를 포함해야 한다는 점을 밝힌다.
• 이전 결과 [14]에 기반한 모순 추론을 통해, 비콤팩트 영역에서는 이러한 컴act 리프가 존재할 수 없다는 점을 증명한다.
• 작은 $C^1$-변형 하에서 불변 포호레이션의 정규 초구형성과 연속성을 활용하여, 인접한 미분형사들의 중심 포호레이션도 여전히 적분 가능하지 않음을 보여준다.
• 플라크 확장성과 중심-안정 포호레이션의 구조를 이용하여, 반발하는 토러스 근처에서 중심-안정 리프 위의 강력한 안정 포호레이션이 리브-유사한 성질을 띠게 된다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1975년 이후 오랫동안 열려 있던 문제이자, 중심 백터 백터가 1차원인 𝕋³ 위의 부분적으로 초구형 미분형사에 대해 동역학적 일관성이 자동으로 성립하는가?
• RQ2 비적분 가능한 중심 부분공간이 없음에도 불구하고, 𝕋³에서 동역학적으로 비일관성인 예가 존재할 수 있는가?
• RQ3 고립된 안정 중심-불안정 토러스의 존재가 3차원 다양체에서 동역학적 일관성을 방해하는가?
• RQ4 초구형 토랄 자동형사와 동치인 𝕋³ 위의 부분적으로 초구형 미분형사들의 공간은 비연결인가?
• RQ5 3차원 부분적으로 초구형 시스템에서 중심 백터의 국소적 유일한 적분 가능성은 동역학적 일관성과 동치인가?

주요 결과

• 논문은 $\mathbb{T}^3$ 위에서 $C^1$-열린 부분집합의 부분적으로 초구형 미분형사들 중에서 동역학적으로 비일관성인 예를 구성하였으며, 이는 중심 백터 백터가 1차원인 첫 번째 예시이다.
• 비일관성은 중심-불안정 토러스 $T^{cu}$ 가 존재하고 이 토러스가 안정적이라는 점에서 기인한다. 이는 임의의 $cu$-포호레이션에 반드시 컴act 리프가 포함되어야 하며, 이는 알려진 결과 [14]와 모순된다.
• 초구형 토랄 자동형사 $A \times \text{id}$ 와 동치인 $\mathbb{T}^3$ 위의 미분형사들의 집합은 비연결임을 보여주었으며, 이는 비일관성 예가 존재하기 때문이다.
• 중심 백터는 $C^1$-열린 집합 내에서 국소적으로도 유일하게 적분 가능하지 않음을 증명하였으며, 이는 3차원 부분적으로 초구형 시스템에서 유일한 적분 가능성조차 국소적으로 보장되지 않음을 보여준다.
• 구성된 예에서 중심-안정 포호레이션은 플라크 확장성과 $C^1$ 성질을 가지나, 반발하는 토러스 근처에서 리프 위의 강력한 안정 포호레이션은 리브-유사한 성질을 띠게 된다.
• 이 예는 3차원 다양체에서 동역학적으로 비일관성인 예는 반드시 $E^c \oplus E^u$ 또는 $E^s \oplus E^c$ 와 접하는 주기적 토러스를 가져야 한다는 추측을 확인한다. 실제로 이 경우 그러한 토러스가 존재한다.