[논문 리뷰] A non-linear model of trading mechanism on a financial market

N. D. Vvedenskaya, Yuri Suhov외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 22.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 연속시간 마르코프 과정을 사용하여 주문 오더 부크의 비선형 스토케스틱 모델을 제안한다. 이 모델은 주문 도착, 취소, 가격 움직임, 거래를 모델링한다. 스케일링 근사(limit)를 통해 모델은 비선형 상미분방정식의 결정론적 시스템으로 수렴하며, 이는 유일한 평형 고정점을 갖게 되어 시장 주문 유동성과 유동성 역학의 장기적 행동을 특징짓는다.

ABSTRACT

We introduce a prototype model in an attempt to capture some aspects of market dynamics simulating a trading mechanism. The model description starts with a discrete-space, continuous-time Markov process describing arrival and movement of orders with different prices. We then perform a re-scaling procedure leading to a deterministic dynamical system controlled by non-linear ordinary differential equations (ODEs). This allows us to introduce approximations for the equilibrium distribution of the model represented by fixed points of deterministic dynamics.

연구 동기 및 목표

• 시장 주문 유동성 메커니즘을 명시적으로 포함한, 단순화되고 해석 가능한 한계 주문부크 역학 모델을 개발하기 위해.
• 참가자 수가 많고 개인적 행동은 드물지만 영향력이 큰 대규모 시장 스케일링 조건 하에서 시스템의 渐近적 행동을 분석하기 위해.
• 유일한 평형 고정점에 의해 특징지어지는 비선형 상미분방정식의 평형 분포를 포괄하는 스케일링을 통한 결정론적 근사 도출하기 위해.
• 특히 평형 상태의 유일성과 안정성에 초점을 맞춘 한계 시스템의 수학적 구조 탐구하기 위해.
• 주문 도착률, 취소율, 거래 속도 등의 매개변수들이 유동성과 가격 형성에 미치는 영향을 이해하기 위한 기초 제공하기 위해.

제안 방법

• N개의 가격 수준에서 매수 및 매도 주문을 나타내는 상태 변수를 갖는 연속시간·이산공간 마르코프 과정으로 시장을 모델링하기 위해.
• 주요 사건의 전이율 정의: 거래(율 ρ_T), 취소(율 ρ_Q), 매수·매도자 모두에 대해 가격 이동(율 ρ_M)을 정의하기 위해.
• 대규모 시장 크기와 희귀한 개인 행동을 가정하여 시간과 공간을 확산형 스케일링으로 재규격화함으로써 결정론적 상미분방정식 시스템으로 수렴하는 스케일링 근사 적용하기 위해.
• 매수 및 매도 측의 기대 주문 수량 x_i(t)와 y_i(t)의 진화를 지배하는 비선형 상미분방정식의 한계 시스템 유도하기 위해.
• 균형 해 (x*, y*)를 계산하기 위해 균형 방정식 기반의 반복적 재귀 시스템을 활용한 반복 고정점 알고리즘 사용하기 위해.
• 스케일링 근사 하에서 유한 척도 분포가 유일한 고정점에 집중된 델타 측도로 수렴함을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토케스틱 한계 주문부크 모델의 스케일링 근사는 어떻게 비선형 결정론적 상미분방정식 시스템으로 이어지는가?
• RQ2 한계 결정론적 시스템에서 평형 고정점의 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 γ(거래 속도), α_Q(취소율), α_M(가격 이동율), λ_b/s(주문 도착율) 등의 매개변수가 평형 한계 주문부크 형태에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 거래 속도 γ가 무한대에 가까워질 경우 시장 효율성과 유동성은 어떻게 변화하는가?
• RQ5 수요가 상쇄되지 않아 초과 매도자가 거래되지 못하는 '과잉 생산 위기' 현상은 모델이 어떻게 묘사하는가?

주요 결과

• 스케일링 근사 결과 결정론적 상미분방정식 시스템은 유일한 고정점 (x*, y*)을 갖게 되며, 이는 유한 척도 과정이 유일한 평형 상태로 수렴함을 의미한다.
• 균형 해는 국소 균형과 거래 상호작용 항을 기반으로 매수 및 매도 주문량 추정치를 번갈아 갱신하는 수렴하는 반복 알고리즘을 통해 계산된다.
• λ_s가 크지만 모든 i에 대해 x_i < y_i일 경우, 추가적인 매도자가 거래량을 증가시키지 못하는 상태에 도달하게 되며, 이는 시장 비효율성 또는 '과잉 생산 위기'를 나타낸다.
• γ → ∞일 때, 주문 도착 직후 거래가 즉시 발생하며 대부분의 거래가 두 개의 인접한 가격 수준 i₀와 i₀+1에 집중되고, 먼 수준에서는 주문 유동성이 거의 없어진다.
• 모델은 매도자 도착률이 일정 임계값을 초과하면 추가 증가에 대해 균형 분포가 민감도를 잃는다는 것을 보여주며, 이는 최고의 매도-매수 격차에서 거래량 포화 상태에 도달하기 때문이다.
• 한계 시스템은 상태에 의존하는 매개변수, 신규 주문의 다수 수준 진입, 우선순위 규칙(예: FCFS) 등으로의 간편한 일반화를 가능하게 하여 실제 시장 메커니즘에의 적용 가능성을 높인다.